AP DSC 2025 SA గణితం ప్రశ్నపత్రం (12 జూన్, షిఫ్ట్ 1): గణిత బోధనా పద్ధతులు ప్రశ్నలు, సమాధానాలు

సరైన సమాధానం: (1) స్వెట్జ్ (Swetz)

దశ 1: గణిత బోధనలో గణిత చరిత్ర (History of Mathematics) ఎందుకు చెప్పాలి అనే ప్రశ్న ఇది. ఆ విలువను ఒక వాక్యంలో చెప్పిన వ్యక్తిని గుర్తించాలి.

దశ 2: గణిత చరిత్రను బోధనలో వాడాలని బలంగా వాదించిన గణిత విద్యావేత్త ఫ్రాంక్ స్వెట్జ్ (Frank Swetz). సూత్రాలు, సిద్ధాంతాలను ఎవరు, ఏ అవసరం కోసం కనుగొన్నారో చెబితే గణితం మనుషులు నిర్మించిన విషయంగా కనిపిస్తుంది. దీన్నే ఆయన “మానవ మూలాలు (human roots)” అన్నాడు.

దశ 3: మిగతా పేర్లు గణిత పద్ధతుల పుస్తకాల్లో ఈ వాక్యంతో కనిపించవు. కాబట్టి సమాధానం (1).

గుర్తుంచుకోండి: గణిత చరిత్ర = గణితానికి “మానవ ముఖం”; ఈ మాట స్వెట్జ్‌ది.

సరైన సమాధానం: (4) బెంజిమన్ పీర్స్ (Benjamin Peirce)

దశ 1: “necessary conclusions” అనే మాట ఉన్న నిర్వచనం గణిత పద్ధతుల పుస్తకాల్లో తరచూ కనిపిస్తుంది. అది ఎవరిదో గుర్తించాలి.

దశ 2: అమెరికన్ గణితవేత్త బెంజమిన్ పీర్స్ తన “Linear Associative Algebra” (1870) గ్రంథం మొదటి వాక్యంలోనే “Mathematics is the science which draws necessary conclusions” అని రాశాడు.

దశ 3: లాక్ పేరుతో వచ్చే నిర్వచనం “గణితం మనసులో తర్కించే అలవాటును నాటుతుంది” అనేది. యూక్లిడ్ జ్యామితి గ్రంథం “ఎలిమెంట్స్” రచయిత, ఈ నిర్వచనం ఆయనది కాదు. అరిస్టాటిల్ గణితాన్ని “పరిమాణాల విజ్ఞానం” అన్నాడు.

గుర్తుంచుకోండి: “necessary conclusions” = బెంజమిన్ పీర్స్.

సరైన సమాధానం: (4) d, a, b

దశ 1: గణిత స్వభావం (Nature of Mathematics)లో లేని ఒక్క అంశాన్ని పక్కనపెడితే సమాధానం దొరుకుతుంది.

దశ 2: గణితం తర్కంపై (Logic) నిలుస్తుంది. సరళమైన, కచ్చితమైన భాషలో ఉంటుంది (Simplicity). క్రమబద్ధంగా ఆలోచించే క్రమశిక్షణ (Discipline) నేర్పుతుంది. కాబట్టి a, b, d గణిత స్వభావానికి చెందినవి.

దశ 3: గణితం స్వభావం అమూర్తత (Abstractness). సంఖ్యలు, బిందువులు, రేఖలు మనసులోని భావనలు, తాకి చూసే వస్తువులు కావు. కాబట్టి మూర్తత్వం (c) గణిత స్వభావం కాదు. c ఉన్న (1), (2), (3) తప్పు.

గుర్తుంచుకోండి: గణితం = అమూర్తం (abstract). “మూర్తత్వం” కనిపిస్తే ఆ ఆప్షన్ వదిలేయండి.

సరైన సమాధానం: (2) 3.1416

దశ 1: ఆర్యభట్టు “ఆర్యభటీయం” (క్రీ.శ. 499)లో వృత్తం పరిధి, వ్యాసం నిష్పత్తిని ఒక శ్లోకంలో ఇచ్చాడు.

దశ 2: శ్లోకం చెప్పే లెక్క: 100కి 4 కలిపి, 8తో గుణించి, 62,000 కలపాలి. ఇది 20,000 వ్యాసం ఉన్న వృత్తం పరిధి.
(4 + 100) × 8 + 62,000 = 832 + 62,000 = 62,832

దశ 3: π = పరిధి ÷ వ్యాసం = 62,832 ÷ 20,000 = 3.1416.

దశ 4: మిగతా ఆప్షన్లు ఇవే అంకెలను వేరే క్రమంలో పెట్టినవి. 3.1416 ఒక్కటే సరైనది.

గుర్తుంచుకోండి: 62832 / 20000 = 3.1416, ఇదే ఆర్యభట్టు π.

సరైన సమాధానం: (3) గోల్డ్‌బాక్ (Goldbach)

దశ 1: ఈ వాక్యం సంఖ్యా సిద్ధాంతంలో బాగా పేరున్న “గోల్డ్‌బాక్ ఊహ (Goldbach’s Conjecture)”.

దశ 2: క్రిస్టియన్ గోల్డ్‌బాక్ 1742లో ఆయిలర్‌కు రాసిన ఉత్తరంలో ఈ ఊహను చెప్పాడు. ఉదాహరణకు 4 = 2 + 2, 10 = 3 + 7, 20 = 7 + 13.

దశ 3: ఇప్పటికీ ఇది పూర్తిగా నిరూపణ కాలేదు, అందుకే దీన్ని “ఊహ” అంటారు. పైథాగరస్, యూక్లిడ్, బేకన్‌లకు దీనితో సంబంధం లేదు.

గుర్తుంచుకోండి: సరి సంఖ్య = రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తం → గోల్డ్‌బాక్.

సరైన సమాధానం: (2) 19.04.1975

దశ 1: భారతదేశం తయారుచేసిన మొదటి ఉపగ్రహం ఆర్యభట్ట. దానికి ప్రాచీన గణితవేత్త ఆర్యభట్టు పేరు పెట్టారు.

దశ 2: ISRO తయారుచేసిన ఈ ఉపగ్రహాన్ని 19 ఏప్రిల్ 1975న సోవియట్ యూనియన్‌లోని కపుస్టిన్ యార్ నుంచి సోవియట్ రాకెట్‌తో ప్రయోగించారు.

దశ 3: మిగతా తేదీలకు ఈ ప్రయోగంతో సంబంధం లేదు. కాబట్టి సమాధానం (2).

గుర్తుంచుకోండి: ఆర్యభట్ట ఉపగ్రహం = 19 ఏప్రిల్ 1975, భారత్ మొదటి ఉపగ్రహం.

సరైన సమాధానం: (4) వృత్తం (Circle)

దశ 1: ఒకే చుట్టుకొలత ఉన్న సంవృత పటాల్లో ఏది ఎక్కువ వైశాల్యం ఇస్తుందో అడుగుతున్నారు. దీన్ని సమపరిధి సమస్య (Isoperimetric problem) అంటారు.

దశ 2: చుట్టుకొలత 4 అనుకుందాం. చతురస్రం భుజం 1, వైశాల్యం 1. వృత్తం వ్యాసార్ధం r = 4 ÷ 2π ≈ 0.637, వైశాల్యం πr² ≈ 1.273. వృత్తం వైశాల్యమే ఎక్కువ.

దశ 3: అదే చుట్టుకొలతకు సమబాహు త్రిభుజం వైశాల్యం దాదాపు 0.770, దీర్ఘచతురస్రం వైశాల్యం 1 కంటే తక్కువ. ఏ బహుభుజి తీసుకున్నా వృత్తాన్ని దాటదు.

గుర్తుంచుకోండి: ఒకే చుట్టుకొలత → గరిష్ఠ వైశాల్యం వృత్తానిదే.

సరైన సమాధానం: (3) a, b, c, d

దశ 1: గ్రీకులు గణితాన్ని కేవలం లెక్కలుగా కాకుండా తర్కంతో నిరూపించే శాస్త్రంగా మార్చారు. అదే హేతువాదం (Rationalism), కాబట్టి a సరైనది.

దశ 2: గ్రీకులు సంఖ్యల స్వభావం గురించిన సిద్ధాంతాన్ని “అరిథ్మెటికా” (Arithmetica) అన్నారు. రోజువారీ లెక్కలు, కూడికలు, వ్యాపార గణనలను “లాజిస్టికా” (Logistica) అన్నారు. కాబట్టి b, c రెండూ సరైనవి.

దశ 3: పైథాగరస్ అనుచరులు 1, 3, 6, 10 లాంటి త్రిభుజాకార సంఖ్యలను (Triangular numbers) చుక్కల అమరికతో అధ్యయనం చేశారు. కాబట్టి d కూడా సరైనది.

దశ 4: నాలుగూ సరైనవి కాబట్టి (3). మిగతా ఆప్షన్లు ఒక్కో వాక్యాన్ని వదిలేశాయి.

గుర్తుంచుకోండి: Arithmetica = సంఖ్యా సిద్ధాంతం, Logistica = లెక్కింపు కళ.

సరైన సమాధానం: (1) ఉద్దేశ్యాలు (Aims)

దశ 1: ఇక్కడ కీలక పదం “మార్గదర్శనం”. విద్య మొత్తానికి దిశ చూపేది ఏదో చూడాలి.

దశ 2: ఉద్దేశ్యాలు (Aims) విస్తృతమైనవి, దీర్ఘకాలికమైనవి. జాతీయ స్థాయిలో, తత్వం ఆధారంగా ఏర్పడతాయి. ఇవే విద్య మొత్తానికి మార్గం చూపుతాయి.

దశ 3: క్రమం ఇలా ఉంటుంది: ఉద్దేశ్యాలు → గమ్యాలు → లక్ష్యాలు → స్పష్టీకరణలు. గమ్యాలు ఒక దశ విద్యకు, లక్ష్యాలు ఒక పాఠానికి, స్పష్టీకరణలు తరగతిలో కనిపించే ప్రవర్తనకు పరిమితం. ఇవి ఉద్దేశ్యాల నుంచే పుడతాయి.

గుర్తుంచుకోండి: Aims = విస్తృతం, దీర్ఘకాలికం; Specifications = చిన్నవి, కొలవగలిగేవి.

సరైన సమాధానం: (4) హస్తలాఘవం (Manipulation)

దశ 1: మానసిక చలనాత్మక రంగం (Psychomotor domain)లో ఆర్.హెచ్. డేవ్ (R.H. Dave) ఇచ్చిన ఐదు స్థాయిలు: అనుకరణ (Imitation) → హస్తలాఘవం (Manipulation) → సునిశితత్వం (Precision) → ఉచ్ఛారణ (Articulation) → సహజీకరణ (Naturalisation).

దశ 2: పుస్తకాల్లో ఈ జాబితాను అనుకరణతో మొదలుపెట్టి పై నుంచి కిందికి రాస్తారు. ఆ జాబితాలో కింది నుంచి లెక్కిస్తే: సహజీకరణ 1, ఉచ్ఛారణ 2, సునిశితత్వం 3, హస్తలాఘవం 4. అధికారిక కీ ఈ లెక్కనే తీసుకుంది.

దశ 3: అనుకరణ కింది నుంచి 5వది. ఆప్షన్ (2) Sensitivity డేవ్ జాబితాలో లేదు, అక్కడ ఉండాల్సింది Precision.

గమనిక: పిరమిడ్‌లా చూస్తే అనుకరణ అట్టడుగున (మొదటి స్థాయి) ఉంటుంది, అప్పుడు కింది నుంచి 4వది ఉచ్ఛారణ (1) అవుతుంది. కీ మాత్రం జాబితా క్రమాన్ని బట్టి (4) ఇచ్చింది.

గుర్తుంచుకోండి: డేవ్ క్రమం: I-M-P-A-N (Imitation, Manipulation, Precision, Articulation, Naturalisation).

సరైన సమాధానం: (4) a, c, e, d, b, f

దశ 1: ఇది జ్ఞానాత్మక రంగం (Cognitive domain)లో బ్లూమ్ (1956) ఇచ్చిన ఆరు స్థాయిల క్రమం.

దశ 2: బ్లూమ్ అసలు వర్గీకరణ: జ్ఞానం → అవగాహన → వినియోగం → విశ్లేషణ → సంశ్లేషణ → మూల్యాంకనం. అక్షరాల్లో a, c, e, d, b, f.

దశ 3: ఇక్కడ “పై నుంచి” అంటే జాబితాలో మొదట రాసే జ్ఞానం నుంచి అని అర్థం. ఆప్షన్లలో ఈ క్రమం (4)లో మాత్రమే ఉంది. (1)లో విశ్లేషణ వినియోగం కంటే ముందు వచ్చింది, అది తప్పు.

గుర్తుంచుకోండి: బ్లూమ్ పాత క్రమం: K-C-Ap-An-S-E (జ్ఞానం, అవగాహన, వినియోగం, విశ్లేషణ, సంశ్లేషణ, మూల్యాంకనం).

సరైన సమాధానం: (4) క్రమశిక్షణ (Discipline)

దశ 1: గణిత బోధన విలువల్లో (Values of teaching mathematics) సమయపాలన, ధైర్యం, ఆత్మవిశ్వాసం ఏ విలువ కిందికి వస్తాయో అడుగుతున్నారు.

దశ 2: గణితంలో ప్రతి లెక్కను క్రమంగా, కచ్చితంగా, సమయానికి పూర్తి చేయాలి. సరైన సమాధానం సొంతంగా రాబట్టినప్పుడు ధైర్యం, ఆత్మవిశ్వాసం పెరుగుతాయి. ఇవన్నీ క్రమశిక్షణా విలువ (Disciplinary value) ఫలితాలు.

దశ 3: కళాత్మక విలువ సౌష్ఠవం, అందాన్ని మెచ్చుకోవడం. సాంస్కృతిక విలువ నాగరికత అభివృద్ధిలో గణితం పాత్ర. నైతిక విలువ నిజాయితీ, న్యాయం. ఇవి ప్రశ్నలోని లక్షణాలకు సరిపోవు.

గుర్తుంచుకోండి: సమయపాలన, కచ్చితత్వం, ఆత్మవిశ్వాసం → క్రమశిక్షణా విలువ.

సరైన సమాధానం: (2) పాఠ్యపుస్తకం వెల (Text book price)

దశ 1: ప్రశ్న “కానిది” అడుగుతోంది. పుస్తకం బోధనకు ఎంత పనికొస్తుందో చెప్పని అంశం వెతకాలి.

దశ 2: మంచి పాఠ్యపుస్తకాన్ని దాని విషయం (content), విషయాన్ని అమర్చిన తీరు (organization), పిల్లల స్థాయికి తగిన భాష ఆధారంగా అంచనా వేస్తారు. ఇవి పుస్తకం లోపలి (అంతర్గత) లక్షణాలు.

దశ 3: వెల పుస్తకం నాణ్యతను చెప్పదు. ఖరీదైన పుస్తకం మంచిదని గానీ, చౌక పుస్తకం చెడ్డదని గానీ చెప్పలేం. అందుకే (2).

సరైన సమాధానం: (1) శీర్షిక (Topical)

దశ 1: ప్రశ్నలో కీలకం “ఒకే తరగతిలో పూర్తిగా” అనే మాట.

దశ 2: శీర్షిక పద్ధతి (Topical method)లో ఒక శీర్షికను, ఉదాహరణకు “త్రిభుజాలు”, ఒకే తరగతిలో అన్ని కోణాలతో పూర్తిగా బోధిస్తారు. మళ్లీ పై తరగతుల్లో అది రాదు.

దశ 3: ఏకకేంద్ర (Concentric), సర్పిల (Spiral) పద్ధతుల్లో అదే టాపిక్ ప్రతి తరగతిలో మళ్లీ వస్తుంది, ప్రతిసారి కొంచెం లోతుగా. తార్కిక పద్ధతి విషయాన్ని తర్క క్రమంలో అమర్చడం మాత్రమే.

గుర్తుంచుకోండి: ఒక టాపిక్, ఒక తరగతి, పూర్తిగా → Topical.

సరైన సమాధానం: (4) మార్పునకు వీలు (Flexibility)

దశ 1: పాఠ్యప్రణాళికను నిర్మించే సూత్రాలు (Principles of curriculum construction), నిర్మించిన విషయాన్ని అమర్చే సూత్రాలు (Principles of organising) వేరు. ప్రశ్న రెండో రకం గురించి.

దశ 2: విషయాన్ని అమర్చేటప్పుడు ఇతర విషయాలతో సహసంబంధం (Correlation), సులభం నుంచి కఠినానికి (Difficulty), కృత్యాల ఆధారంగా (Activity based) అనే సూత్రాలు పాటిస్తారు.

దశ 3: మార్పునకు వీలు (Flexibility) పాఠ్యప్రణాళిక నిర్మాణ సూత్రం. స్థానిక అవసరాలకు తగ్గట్టు మార్చుకునే వీలు ఉండాలని ఇది చెబుతుంది. అమరిక సూత్రం కాదు, కాబట్టి ఇదే వేరుగా ఉన్నది.

సరైన సమాధానం: (3) సర్పిల (Spiral)

దశ 1: భావనలు మధ్యలో తెగకుండా (continual) ఒకదాని నుంచి మరొకటి సాగే అమరిక పేరు అడుగుతున్నారు.

దశ 2: సర్పిల పద్ధతి (Spiral approach)లో ఒక భావనను పై తరగతుల్లో మళ్లీ మళ్లీ, ప్రతిసారి కొంచెం విస్తరించి బోధిస్తారు. స్ప్రింగ్ చుట్టల్లా విషయం నిరంతరంగా పైకి సాగుతుంది. జెరోమ్ బ్రూనర్ ఈ పద్ధతిని సూచించాడు.

దశ 3: ఏకకేంద్ర పద్ధతిలో కూడా టాపిక్ మళ్లీ వస్తుంది, కానీ వృత్తాల్లా వేరు వేరు పొరలుగా వస్తుంది, ఒకే ప్రవాహంలా కాదు. శీర్షిక పద్ధతిలో టాపిక్ ఒకేసారి ముగుస్తుంది.

గుర్తుంచుకోండి: నిరంతరత (continuity) = Spiral; పొరలు = Concentric.

సరైన సమాధానం: (2) సంక్షిప్తమైనది (Brief)

దశ 1: ఆగమన పద్ధతి (Inductive method) ఉదాహరణల నుంచి సాధారణీకరణకు, అంటే ప్రత్యేకం నుంచి సాధారణానికి సాగుతుంది.

దశ 2: పిల్లలు ఉదాహరణలు పరిశీలించి, ఆలోచించి సూత్రాన్ని తామే కనుగొంటారు. అందుకే ఇది మనోవైజ్ఞానికమైనది, తార్కికమైనది, పరిశీలనపై ఆధారపడింది. (1), (3), (4) దీని గుణాలే.

దశ 3: చాలా ఉదాహరణలు చేయాలి కాబట్టి ఈ పద్ధతి ఎక్కువ సమయం తీసుకుంటుంది. సంక్షిప్తంగా ఉండేది నిగమన పద్ధతి (Deductive). కాబట్టి “సంక్షిప్తం” ఆగమన గుణం కాదు.

గుర్తుంచుకోండి: ఆగమనం = దీర్ఘం, మనోవైజ్ఞానికం; నిగమనం = సంక్షిప్తం, వేగం.

సరైన సమాధానం: (1) ఆగమన (Inductive)

దశ 1: ఘాతాంక న్యాయం (Law of exponents) లాంటి సూత్రాన్ని పిల్లలకు కొత్తగా పరిచయం చేయడానికి ఏ పద్ధతి బాగుంటుందో అడుగుతున్నారు.

దశ 2: ఉదాహరణలతో మొదలుపెడితే: 2⁵ ÷ 2² = 32 ÷ 4 = 8 = 2³, అంటే 2^(5−2). 3⁴ ÷ 3¹ = 81 ÷ 3 = 27 = 3³, అంటే 3^(4−1). ఇలా కొన్ని చూశాక పిల్లలే “ఘాతాలను తీసివేయాలి” అని సాధారణీకరిస్తారు.

దశ 3: ఉదాహరణల నుంచి సూత్రానికి రావడమే ఆగమన పద్ధతి. సూత్రాన్ని ముందే ఇచ్చి లెక్కల్లో వాడించడం నిగమనం, అది సూత్రం నేర్చుకున్న తర్వాత పనికొస్తుంది. విశ్లేషణ, సంశ్లేషణ నిరూపణలకు, సమస్యల సాధనకు వాడతారు.

గుర్తుంచుకోండి: సూత్రం/న్యాయం కనుగొనడం → ఆగమనం; వాడటం → నిగమనం.

సరైన సమాధానం: (2) అన్వేషణ (Heuristic)

దశ 1: “Heuristic” అనే మాట గ్రీకు పదం “heurisko” (నేను కనుగొంటాను) నుంచి వచ్చింది. ఆర్కిమెడిస్ అరిచిన “యురేకా” (నేను కనుగొన్నాను) కూడా ఇదే మూలం.

దశ 2: అన్వేషణ పద్ధతిని హెచ్.ఇ. ఆర్మ్‌స్ట్రాంగ్ (H.E. Armstrong) ప్రచారం చేశాడు. ఇందులో విద్యార్థి ఒక పరిశోధకుడిలా సమస్యను తానే పరిశీలించి సమాధానం కనుగొంటాడు. ఆ సంతోషమే “నేను కనుగొన్నాను” భావన.

దశ 3: ప్రాజెక్టు పద్ధతి నిజ జీవిత సమస్యను బృందంగా పూర్తిచేయడం. విశ్లేషణ, సంశ్లేషణ నిరూపణ పద్ధతులు. “నేను కనుగొన్నాను” భావనకు నేరుగా సరిపోయేది అన్వేషణ పద్ధతి.

గుర్తుంచుకోండి: Heuristic = Eureka = ఆర్మ్‌స్ట్రాంగ్.

సరైన సమాధానం: (3) విశ్లేషణ (Analytic)

దశ 1: ఈ ప్రశ్నలో కీలకం “procedure”. సాధన దారి ఎలా దొరికిందో విద్యార్థికి తెలిపే పద్ధతిని గుర్తించాలి.

దశ 2: విశ్లేషణ పద్ధతి (Analytic method) తెలియనిది (నిరూపించాల్సింది) నుంచి తెలిసినదానికి సాగుతుంది. “ఇది రావాలంటే ఏం తెలియాలి?” అని వెనక్కి అడుగుతూ వెళ్తాం. దీంతో సాధన ఎలా పుట్టిందో విద్యార్థికి అర్థమవుతుంది.

దశ 3: సంశ్లేషణ (Synthetic) తెలిసినదాని నుంచి తెలియనిదానికి వెళ్తుంది. ఇది చిన్నగా, అందంగా ఉంటుంది కానీ ఆ మెట్లు ఎందుకు వేశామో చెప్పదు. ఆగమన, నిగమనాలు సూత్రాలు కనుగొనడం, వాడటం గురించి.

గుర్తుంచుకోండి: విశ్లేషణ = కనుగొనే పద్ధతి (method of discovery); సంశ్లేషణ = ప్రదర్శించే పద్ధతి (method of presentation).

సరైన సమాధానం: (3) వార్షిక పథకం (year plan)

దశ 1: ఉపాధ్యాయుడు మూడు స్థాయిల్లో ప్రణాళిక వేస్తాడు: సంవత్సరానికి, యూనిట్‌కి, ఒక్కో పీరియడ్‌కి. విద్యా సంవత్సరం మొదట్లో వేసేది ఏదో అడుగుతున్నారు.

దశ 2: వార్షిక పథకం (Year plan)లో సిలబస్‌ను నెలల వారీగా విభజిస్తారు. ఏ యూనిట్‌కి ఎన్ని పీరియడ్లు, ఏ నెలలో ఏ పరీక్ష అనేది ముందే నిర్ణయిస్తారు. ఇది సంవత్సరం ఆరంభంలోనే తయారవుతుంది.

దశ 3: యూనిట్ పథకం ఒక్కో యూనిట్ మొదలయ్యే ముందు, పాఠ్య/పీరియడ్ పథకం ప్రతి తరగతికి ముందు రాస్తారు.

గుర్తుంచుకోండి: వార్షిక → యూనిట్ → పీరియడ్: పెద్ద నుంచి చిన్నదానికి.

సరైన సమాధానం: (4) సాధారణీకరణం (Generalization)

దశ 1: హెర్బార్ట్ పాఠ్యపథక సోపానాలు: సన్నాహం (Preparation) → సమర్పణ (Presentation) → సంసర్గం/పోలిక (Association) → సాధారణీకరణం (Generalization) → అన్వయం (Application). చివర పునర్విమర్శ (Recapitulation) కూడా చేర్చారు.

దశ 2: సమర్పణలో ఉదాహరణలు చూపిస్తారు. సంసర్గంలో వాటిని పోల్చి పోలికలు గమనిస్తారు. ఆ పోలికల నుంచి నిర్వచనం లేదా సూత్రం రాబట్టే మెట్టు సాధారణీకరణం.

దశ 3: పునర్విమర్శ నేర్చుకున్నది గుర్తుచేయడం మాత్రమే. సూత్రం పుట్టేది సాధారణీకరణంలోనే.

గుర్తుంచుకోండి: ఉదాహరణలు → పోలిక → సూత్రం (Generalization) → వాడకం (Application).

సరైన సమాధానం: (3), (4) ఆప్షన్లకు పూర్తి మార్కులు (అధికారిక కీ)

దశ 1: ఇంగ్లీష్‌లో “aptitude” (సహజ సామర్థ్యం) అని ఉంది, తెలుగులో “అభిరుచి” (Interest) అని ఉంది. గణిత బోధన లక్ష్యాల్లో అభిరుచి, సహజ సామర్థ్యం వేరు వేరు లక్ష్యాలు. అందుకే అస్పష్టత వచ్చింది.

దశ 2: అభిరుచి (Interest) లక్ష్యం స్పష్టీకరణలు: గణిత నమూనాలు, పజిల్స్ తయారుచేయడం, గణిత క్లబ్బుల్లో పాల్గొనడం. ఈ చదువుతో a, d సరిపోతాయి, అంటే ఆప్షన్ (4).

దశ 3: సహజ సామర్థ్యం (Aptitude) స్పష్టీకరణలు: సమస్యలకు సులభ పద్ధతులు సూచించడం, కొత్త పద్ధతులు ప్రతిపాదించడం. పజిల్స్ తయారుచేయడం కూడా కొన్ని పుస్తకాల్లో ఇక్కడే ఉంటుంది. ఈ చదువుతో b, d, అంటే ఆప్షన్ (3) వస్తుంది.

దశ 4: రెండు భాషల్లో రెండు వేర్వేరు లక్ష్యాలు ఉండటంతో కీ (3), (4) రెండింటికీ మార్కులు ఇచ్చింది. తెలుగు మాధ్యమంలో చదివినవారికి (4) సహజంగా తడుతుంది.

గుర్తుంచుకోండి: Interest = చేయడంలో ఆనందం (నమూనాలు, పజిల్స్); Aptitude = కొత్త, సులభ పద్ధతులు సూచించే సామర్థ్యం.

సరైన సమాధానం: (3) సమర్పణ (Presentation)

దశ 1: పాఠ్యపథకంలో పాఠం చివర చేసే పనులను పర్యవసాన కృత్యాలు (Culminating activities) అంటారు. ప్రశ్న వీటిలో లేనిదాన్ని వెతకమంటోంది.

దశ 2: పాఠం ముగింపులో పునర్విమర్శ (నేర్చుకున్నది మళ్లీ గుర్తుచేయడం), అన్వయం (కొత్త సమస్యల్లో వాడటం), నియోజనాలు (ఇంటి పని) ఇస్తారు. ఇవి మూడూ పర్యవసాన కృత్యాలే.

దశ 3: సమర్పణ (Presentation) పాఠం మధ్యలో, కొత్త విషయం పరిచయం చేసే దశ. ఇది అభివృద్ధి కృత్యం (Developmental activity), ముగింపు కృత్యం కాదు.

సరైన సమాధానం: (1) ఫ్లాష్‌కార్డు (Flash card)

దశ 1: జ్ఞాపకం ఉంచుకోవడం (memorization), గుర్తించడం (recognition) కోసం వాడే సామగ్రి అడుగుతున్నారు.

దశ 2: ఫ్లాష్ కార్డు (Flash card) మీద ఒక వైపు గుర్తు, సూత్రం లేదా పటం, మరో వైపు దాని పేరు ఉంటుంది. ఉపాధ్యాయుడు కార్డును కొన్ని క్షణాలు చూపిస్తే పిల్లలు వెంటనే గుర్తించి చెప్పాలి. ఇది జ్ఞాపకశక్తి, వేగవంతమైన గుర్తింపుకు బాగా పనికొస్తుంది.

దశ 3: జియోబోర్డు, పెగ్ బోర్డు, గ్రిడ్ పేపర్‌తో పిల్లలు ఆకారాలు నిర్మించి, వైశాల్యం, చుట్టుకొలత కనుగొంటారు. అవి నిర్మాణ, అన్వేషణ కృత్యాలకు, జ్ఞాపకానికి కాదు.

సరైన సమాధానం: (4) శాబ్దిక సంకేతాలు (Verbal Symbols)

దశ 1: ఎడ్గార్ డేల్ అనుభవ శంకువు (Cone of Experience)లో అడుగున ప్రత్యక్ష అనుభవాలు (అత్యంత మూర్తం), శిఖరాన శాబ్దిక సంకేతాలు (అత్యంత అమూర్తం) ఉంటాయి.

దశ 2: కింది నుంచి క్రమం: ప్రత్యక్ష అనుభవాలు → కల్పిత అనుభవాలు → నాటకీకరణ → ప్రదర్శనలు → క్షేత్ర పర్యటనలు → ప్రదర్శనశాలలు → టీవీ → చలనచిత్రాలు → రికార్డింగ్/రేడియో/చిత్రాలు → దృశ్య సంకేతాలు → శాబ్దిక సంకేతాలు.

దశ 3: శాబ్దిక సంకేతాల్లో (మాటలు, అక్షరాలు) వస్తువుతో ఎలాంటి పోలిక ఉండదు, అందుకే అమూర్తత అత్యధికం. దృశ్య సంకేతాలు దానికి ఒక మెట్టు కింద ఉంటాయి.

గుర్తుంచుకోండి: శంకువు అడుగు = చేసి నేర్చుకోవడం; శిఖరం = మాటలతో నేర్చుకోవడం.

సరైన సమాధానం: (4) a, b, c

దశ 1: ఆవర్తన పని (Drill work) అంటే నేర్చుకున్న భావనలను మళ్లీ మళ్లీ సాధన చేయించడం. దీని ఉపయోగాలు అడుగుతున్నారు.

దశ 2: పదే పదే సాధన చేస్తే భావనలు, వాటి మధ్య సంబంధాలు మనసులో స్థిరపడతాయి (a). రోజూ కొంత సాధన చేయడం వల్ల క్రమం తప్పకుండా పనిచేసే అలవాటు వస్తుంది (b). నేర్చుకున్న విషయం మరచిపోకుండా దృఢంగా నిలుస్తుంది (c).

దశ 3: మూడూ ఆవర్తన పని ఉపయోగాలే, కాబట్టి (4). రెండు వాక్యాలే ఉన్న ఆప్షన్లు అసంపూర్ణం.

సరైన సమాధానం: (2) a, b, c

దశ 1: ప్రతిభావంతులైన పిల్లలు (Gifted children) తరగతిలో త్వరగా పని ముగించి ఖాళీగా ఉంటారు. వారి కోసం పాఠశాల చేసే ఏర్పాట్లు ఇవి.

దశ 2: ఒకే సామర్థ్యం ఉన్న పిల్లలను ఒక బృందంగా చేస్తే (Ability grouping) వారి వేగానికి తగ్గ పని ఇవ్వవచ్చు (a). గణిత ఒలింపియాడ్, ప్రతిభాన్వేషణ పరీక్షలకు పంపడం వారి సామర్థ్యానికి సవాలు ఇస్తుంది (b).

దశ 3: వారిని బోధన సహాయకులుగా (Teaching assistants) వాడితే నెమ్మదిగా నేర్చుకునే తోటివారికి సహాయం అందుతుంది, ప్రతిభావంతుల అవగాహన కూడా ఇంకా గట్టిపడుతుంది (c). మూడూ సరైనవి, కాబట్టి (2).

సరైన సమాధానం: (2), (3) ఆప్షన్లకు పూర్తి మార్కులు (అధికారిక కీ)

దశ 1: మౌఖిక పని (Oral work) అంటే పెన్ను, కాగితం లేకుండా మనసులో లెక్క చేసి నోటితో చెప్పడం. దీనిలో ఉపాధ్యాయుడు పాటించాల్సిన జాగ్రత్తలు అడుగుతున్నారు.

దశ 2: మౌఖిక పనితో పాటు వ్రాత పని కూడా ఉండాలి (a). ప్రశ్నలు పిల్లల జ్ఞాన స్థాయికి తగినట్టు ఉండాలి (c). మౌఖిక పని తక్కువ సమయంలో ఎక్కువ సాధన ఇస్తుంది, కాబట్టి సమయం పొదుపుకు వాడాలి (b). ఈ మూడూ ఉన్న ఆప్షన్ (2).

దశ 3: మౌఖిక పనిలో కఠినమైన భాష వాడాలి (d) అనేది స్పష్టంగా తప్పు. సరళమైన, స్పష్టమైన భాష ఉండాలి. d ఉన్న (1), (3), (4) తప్పు కావాలి.

దశ 4: అయినా కీ (2)తో పాటు (3)కి కూడా మార్కులు ఇచ్చింది. ఎక్కువ సమర్థించగలిగేది (2) c, a, b మాత్రమే.

గుర్తుంచుకోండి: మౌఖిక పని: సరళ భాష, పిల్లల స్థాయి, వ్రాత పనితో కలిపి.

సరైన సమాధానం: (2) 60 - 90

దశ 1: ప్రజ్ఞాలబ్ధి (IQ) ఆధారంగా పిల్లలను వర్గీకరిస్తారు. సగటు IQ 90 నుంచి 110. మంద అభ్యాసకులు (Slow learners) సగటు కంటే కొంచెం కింద ఉంటారు.

దశ 2: గణిత బోధన పుస్తకాల్లో మంద అభ్యాసకుల IQ సుమారు 70 నుంచి 90గా చెబుతారు. ఇచ్చిన ఆప్షన్లలో ఈ పరిధికి దగ్గరగా ఉన్నది 60 - 90 మాత్రమే.

దశ 3: 140 కంటే ఎక్కువ ప్రతిభావంతులు (Gifted), 120 - 140 ఉన్నత ప్రజ్ఞ (Superior). 50 - 70 మానసిక వైకల్యం (Mild intellectual disability) పరిధి, మంద అభ్యాసకులది కాదు.

గుర్తుంచుకోండి: 90 కంటే కొంచెం తక్కువ = మంద అభ్యాసకుడు; 140 పైన = ప్రతిభావంతుడు.

సరైన సమాధానం: (2) నైపుణ్యం (Skill)

దశ 1: గణితంలో ఒక లెక్కను వేగంగా, అదే సమయంలో తప్పు లేకుండా చేయగలగడాన్ని ఏమంటారో అడుగుతున్నారు.

దశ 2: గణిత బోధన లక్ష్యాల్లో నైపుణ్యం (Skill) అంటే వేగం, కచ్చితత్వం రెండూ కలిసి ఉండటం. కేవలం వేగంగా చేసి తప్పులు చేసినా, సరిగ్గా చేసినా చాలా నెమ్మదిగా చేసినా అది నైపుణ్యం కాదు.

దశ 3: వైవిధ్యం, సహకారం, సామర్థ్యం ఈ సమతుల్యతను సూచించే పదాలు కావు. అందుకే (2).

గుర్తుంచుకోండి: నైపుణ్యం = వేగం + కచ్చితత్వం.

సరైన సమాధానం: (2) నియోజనం (Assignments)

దశ 1: విద్యార్థి ఉపాధ్యాయుడి సహాయం లేకుండా సొంతంగా చదివే అలవాటు ఏ బోధన సాంకేతికత వల్ల వస్తుందో అడుగుతున్నారు.

దశ 2: నియోజనాల్లో (Assignments) ఉపాధ్యాయుడు పని ఇస్తాడు, విద్యార్థి ఇంట్లో లేదా గ్రంథాలయంలో పుస్తకాలు, ఇతర వనరులు చూసి సొంతంగా పూర్తి చేస్తాడు. ఇదే స్వీయ అధ్యయనం (Self study).

దశ 3: ఆవర్తన పని నేర్చుకున్నదాన్ని స్థిరపరచడానికి, మౌఖిక పని మనోగణనకు, వ్రాత పని తరగతిలో రాసే సాధనకు. ఇవి ఉపాధ్యాయుడి పర్యవేక్షణలో జరుగుతాయి.

సరైన సమాధానం: (2) a, c, d

దశ 1: ఆవర్తన పని (Drill work) నేర్చుకున్నదాన్ని గట్టిపరిచే సాధన. ఇందులో సరైన జాగ్రత్తలు ఏవో, తప్పు వాక్యం ఏదో చూడాలి.

దశ 2: ఎక్కువ లెక్కలు ఇచ్చి పిల్లలపై భారం పెట్టకూడదు (a). మొదట కచ్చితత్వం, తర్వాత వేగం సాధించాలి (c). ఒకే రకం లెక్కలు పదే పదే ఇస్తే విసుగు వస్తుంది, కాబట్టి వైవిధ్యం ఉండాలి (d). ఈ మూడూ సరైన జాగ్రత్తలు.

దశ 3: బోధించని పాఠాలపై ఆవర్తన పని ఇవ్వడం (b) తప్పు. ముందు భావన అర్థమయ్యాకే సాధన మొదలవుతుంది. b ఉన్న (1), (3), (4) తప్పు.

గుర్తుంచుకోండి: ఆవర్తనం = బోధించిన తర్వాతే; మొదట కచ్చితత్వం, తర్వాత వేగం.

సరైన సమాధానం: (1), (3) ఆప్షన్లకు పూర్తి మార్కులు (అధికారిక కీ)

దశ 1: పాలిండ్రోమిక్ సంఖ్య (Palindromic number) అంటే ఎడమ నుంచి, కుడి నుంచి చదివినా ఒకేలా ఉండే సంఖ్య. ఉదాహరణకు 121, 1331, 12321.

దశ 2: గణిత సౌందర్యం (Mathematical aesthetics) అంశాలు: సౌష్ఠవం, క్రమం, నమూనా. పాలిండ్రోమ్‌లో మధ్య అంకె చుట్టూ రెండు వైపులా ఒకే అంకెలు అద్దంలా ఉంటాయి. ఇది నేరుగా సౌష్ఠవం (Symmetry), కాబట్టి (1) ఎక్కువ సమర్థించగలిగేది.

దశ 3: అంకెలు ఒక నిర్దిష్ట క్రమంలో అమరి ఉంటాయి కాబట్టి క్రమం (Order) అని కూడా వాదించవచ్చు. అందుకే కీ (1), (3) రెండింటికీ మార్కులు ఇచ్చింది.

గుర్తుంచుకోండి: పాలిండ్రోమ్ = సంఖ్యల్లో అద్దం = సౌష్ఠవం.

సరైన సమాధానం: అన్ని ఆప్షన్లకు పూర్తి మార్కులు (అధికారిక కీ)

దశ 1: క్రమత్వం (Order) అంటే ఒక నియమం ప్రకారం సాగే అమరిక. ప్రతి ఆప్షన్‌లో నియమం ఉందో లేదో చూడాలి.

దశ 2: (1) భుజాల సంఖ్య 3, 4, … ఒక్కొక్కటి పెరుగుతుంది. (2) 3 నుంచి మొదలయ్యే బేసి సంఖ్యలు, 2 చొప్పున పెరుగుతాయి. (3) 2², 3², 4², 5², అంటే వర్గాలు. ఈ మూడూ క్రమానికి ఉదాహరణలే.

దశ 3: ఇంగ్లీష్ ప్రశ్నలో (4) 8, 27, 64, 125 = 2³, 3³, 4³, 5³, ఇది కూడా క్రమమే. అప్పుడు “క్రమం కానిది” ఏ ఆప్షనూ కాదు. తెలుగులో మాత్రం 125 బదులు 128 ఉంది. 128 ఘనం కాదు (5³ = 125), కాబట్టి తెలుగు ప్రకారం (4) సమాధానం అవుతుంది.

దశ 4: రెండు భాషల్లో ఆప్షన్ (4) వేరుగా ముద్రించడంతో ప్రశ్న అస్పష్టమైంది. అందుకే కీ అన్ని ఆప్షన్లకు మార్కులు ఇచ్చింది.

గుర్తుంచుకోండి: ఘనాలు 8, 27, 64, 125, 216; 128 = 2⁷, ఘనం కాదు.

సరైన సమాధానం: (3) ప్రధానోపాధ్యాయుడు (Head of the Institution)

దశ 1: గణిత క్లబ్ (Mathematics club) పదవుల గురించిన ప్రశ్న ఇది.

దశ 2: గణిత క్లబ్‌కు ప్రధానోపాధ్యాయుడు అధ్యక్షుడు (President) లేదా పోషకుడు (Patron)గా ఉంటాడు. గణిత ఉపాధ్యాయుడు సలహాదారు/ప్రాయోజకుడు (Sponsor). కార్యదర్శి, కోశాధికారి లాంటి మిగతా పదవులు విద్యార్థులకు ఇస్తారు.

దశ 3: ఇక్కడ చాలామంది (1) గణిత ఉపాధ్యాయుడు అని ఎంచుకుంటారు. కానీ ఆయన పాత్ర మార్గదర్శనం, అధ్యక్ష పదవి కాదు.

గుర్తుంచుకోండి: అధ్యక్షుడు = ప్రధానోపాధ్యాయుడు; సలహాదారు = గణిత ఉపాధ్యాయుడు.

సరైన సమాధానం: (4) లోపనిదాన (Diagnostic)

దశ 1: విద్యార్థి ఎక్కడ వెనకబడ్డాడో, ఏ భావనలో పొరపాటు చేస్తున్నాడో కనుగొనే మూల్యాంకనం పేరు అడుగుతున్నారు.

దశ 2: లోపనిదాన మూల్యాంకనం (Diagnostic evaluation) డాక్టర్ రోగ నిర్ధారణ లాంటిది. అభ్యసన లోపాలు, వాటి కారణాలు గుర్తిస్తుంది. దాని తర్వాత పరిహార బోధన (Remedial teaching) ఇస్తారు.

దశ 3: సంకలన మూల్యాంకనం కోర్సు చివర గ్రేడ్ ఇవ్వడానికి. రూపణ మూల్యాంకనం బోధన మధ్యలో ప్రగతి చూడటానికి. ప్రాగుక్తిక మూల్యాంకనం భవిష్యత్తులో విద్యార్థి ఎలా రాణిస్తాడో అంచనా వేయడానికి.

గుర్తుంచుకోండి: లోపనిదానం → పరిహార బోధన.

సరైన సమాధానం: (2) జ్ఞాపక శక్తి (Memory)

దశ 1: ఖాళీలు పూరించే ప్రశ్నలు (Fill in the blanks) విద్యార్థిలో ఏ సామర్థ్యాన్ని పరీక్షిస్తాయి?

దశ 2: ఈ ప్రశ్నల్లో ఆప్షన్లు ఉండవు. విద్యార్థి సమాధానాన్ని తన జ్ఞాపకం నుంచి సొంతంగా గుర్తుచేసుకుని (recall) రాయాలి. కాబట్టి ఇవి జ్ఞాపక శక్తిని పరీక్షిస్తాయి.

దశ 3: ధారణ (Retention) అంటే నేర్చుకున్నది మనసులో నిలిచి ఉండటం. అది జ్ఞాపకానికి దగ్గరి మాటే, కానీ పరీక్షలో బయటపడేది గుర్తుచేసుకునే జ్ఞాపక శక్తి. భావవ్యక్తీకరణకు వ్యాసరూప ప్రశ్నలు, చిత్రలేఖనానికి పటాలు గీసే ప్రశ్నలు వాడతారు.

సరైన సమాధానం: (3) మదింపు (Assessment)

దశ 1: నిరంతర సమగ్ర మూల్యాంకనం (CCE) రోజువారీగా, అన్ని కోణాల్లో విద్యార్థిని గమనించే విధానం. దీనికి అనుకూలమైన ప్రక్రియ ఏదో అడుగుతున్నారు.

దశ 2: మదింపు (Assessment) బోధనతో పాటే నిరంతరం జరిగే ప్రక్రియ. పరిశీలన, ప్రాజెక్టులు, ప్రశ్నలు, పోర్ట్‌ఫోలియోల ద్వారా విద్యార్థి అభ్యసనం గురించి సమాచారం సేకరిస్తారు. CCEలోని “నిరంతర” భాగానికి సరిపోయేది ఇదే.

దశ 3: పరీక్ష (Test) ఒక సాధనం, ఒకసారి జరుగుతుంది. మాపనం (Measurement) అంకెల్లో కొలవడం మాత్రమే. మూల్యాంకనం (Evaluation) ఆ సమాచారంపై విలువ నిర్ణయించే చివరి తీర్పు. కీ మదింపునే ఇచ్చింది.

గుర్తుంచుకోండి: Measurement = అంకె; Assessment = నిరంతర సమాచార సేకరణ; Evaluation = విలువ తీర్పు.

సరైన సమాధానం: (1) మౌఖిక పరీక్ష (Oral test)

దశ 1: రూపణ మూల్యాంకనం (Formative evaluation) బోధన జరుగుతుండగానే, ప్రతి తరగతిలో పిల్లల అవగాహన తెలుసుకోవడానికి చేసే మూల్యాంకనం.

దశ 2: తరగతిలో అప్పటికప్పుడు ప్రశ్నలు అడిగి సమాధానాలు రాబట్టడం, అంటే మౌఖిక పరీక్ష, తక్కువ సమయంలో ఎక్కువసార్లు చేయగలిగేది. అందుకే రూపణ మూల్యాంకనంలో ఎక్కువగా వాడే సాధనం ఇదే.

దశ 3: వ్రాత పరీక్షలు ఎక్కువగా సంకలన మూల్యాంకనంలో (యూనిట్ చివర, టర్మ్ చివర) వాడతారు. ప్రయోగ పరీక్ష, నిర్ధారణ మాపని (Rating scale) ప్రత్యేక నైపుణ్యాలు, ప్రవర్తనలు కొలవడానికి, తరచుగా వాడేవి కావు.