AP DSC 2025 SA గణితం ప్రశ్నపత్రం (12 జూన్, షిఫ్ట్ 1): గణితం కంటెంట్ ప్రశ్నలు, సమాధానాలు
Nookesh Karri ·· 54 min read
AP DSC SA Maths 2025 content questions ఇక్కడ ఉన్నాయి. AP మెగా DSC 2025లో స్కూల్ అసిస్టెంట్ (SA) గణితం పోస్టుకు 12 జూన్ 2025, షిఫ్ట్ 1లో జరిగిన పరీక్షలో నాలుగో సెక్షన్ గణితం కంటెంట్. ఇది పేపర్లో అతి పెద్ద సెక్షన్: 41 నుంచి 120 వరకు 80 ప్రశ్నలు, మొత్తం 40 మార్కులు. ప్రతి ప్రశ్నను పేపర్లో ఉన్నట్టే తెలుగు, ఇంగ్లీష్‌లో ఇచ్చాం. సమాధానాలు పాఠశాల విద్యాశాఖ విడుదల చేసిన అధికారిక ఫైనల్ కీ నుంచి తీసుకున్నాం. ప్రతి లెక్క కింద దశలవారీ సాధన ఉంది, ఎక్కడ ఉచ్చు ఉందో కూడా చెప్పాం. అంకగణితం నుంచి కలన గణితం వరకు ప్రతి టాపిక్ నుంచి ప్రశ్నలు వచ్చాయి. ప్రశ్న 80లో తెలుగు, ఇంగ్లీష్ పాఠాలు వేరుగా ఉండటంతో అధికారిక కీ రెండు ఆప్షన్లకు పూర్తి మార్కులు ఇచ్చింది; ఆ వివరం అక్కడే ఉంది.
ఈ సెక్షన్లో వచ్చిన టాపిక్స్
| టాపిక్ | ప్రశ్నలు |
|---|---|
| అంకగణితం (వేగం, శాతాలు, చక్రవడ్డీ, లాభనష్టాలు, రుసుము, కాలం-పని, నిష్పత్తి) | 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47 |
| సంఖ్యా వ్యవస్థ, HCF-LCM, ఘాతాంకాలు, సంవర్గమానాలు, కరణులు | 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54 |
| సమితులు | 55 |
| జ్యామితి (సరూపత, వృత్తాలు, యూక్లిడ్, కోణాలు, చతుర్భుజాలు, సౌష్ఠవం) | 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 72 |
| క్షేత్రమితి, ఘనాకారాలు | 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 99 |
| బీజగణితం (బహుపదులు, రేఖీయ, వర్గ సమీకరణాలు, సర్వసమీకరణాలు) | 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79 |
| శ్రేఢులు | 80, 111 |
| ప్రస్తారాలు, ప్రమేయాలు, మాత్రికలు | 81, 82, 83 |
| సాంఖ్యక శాస్త్రం | 84, 85, 86, 87, 88, 89 |
| సంభావ్యత | 90, 91, 92, 93, 94 |
| నిరూపక జ్యామితి (రేఖలు, వృత్తం, దీర్ఘవృత్తం) | 95, 96, 97, 98, 100, 101, 102, 103 |
| త్రికోణమితి | 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 112, 113 |
| సదిశలు | 114, 115, 116 |
| కలన గణితం (అవకలనం, అవధులు, సమాకలనం) | 117, 118, 119, 120 |
ప్రశ్నలు, వివరణలు
ప్రశ్న 41
ఒక కారు 5 ½ గంటలలో 440 కి.మీ దూరం ప్రయాణించగలదు. అదే వేగంతో 30 కి.మీ ప్రయాణించడానికి పట్టే సమయం (నిమిషాలలో)
A car travels 440 km in 5 ½ hours. The time required to cover 30 km with the same speed is (in minutes)
(1) 17 ½ min
(2) 22 ½ min
(3) 27 ½ min
(4) 18 ⅓ min
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) 22 ½ min
దశ 1: ముందు కారు వేగం కనుక్కోవాలి. వేగం = దూరం ÷ కాలం = 440 ÷ 5.5 = 80 కి.మీ/గం.
దశ 2: 30 కి.మీకి పట్టే కాలం = 30 ÷ 80 = 3/8 గంట.
దశ 3: నిమిషాల్లోకి మారిస్తే 3/8 × 60 = 22.5 నిమిషాలు, అంటే 22 ½ నిమిషాలు.
గుర్తుంచుకోండి: 80 కి.మీ/గం అంటే నిమిషానికి 4/3 కి.మీ. 30 ÷ 4/3 = 22.5 అని నేరుగానూ చేయొచ్చు.
ప్రశ్న 42
150 లో 15% + 250 లో x % = 200 లో 42.5% అయితే x విలువ
If 15% of 150 + x % of 250 = 42.5% of 200 then the value of x is
(1) 15
(2) 20
(3) 25
(4) 30
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 25
దశ 1: ఒక్కో పదాన్ని విడిగా లెక్కిద్దాం. 150 లో 15% = 150 × 15/100 = 22.5. 200 లో 42.5% = 200 × 42.5/100 = 85.
దశ 2: 250 లో x% = 250x/100 = 2.5x. కాబట్టి 22.5 + 2.5x = 85.
దశ 3: 2.5x = 62.5, అందుకే x = 25.
ప్రశ్న 43
అర్థ సంవత్సరానికి ఒకసారి వడ్డీ కట్టెడు పద్ధతిన ₹ 12000 అప్పుపై సంవత్సరానికి 10% వడ్డీ రేటుతో 1 ½ సంవత్సరాల తర్వాత చెల్లించవలసిన మొత్తం (రూపాయలలో)
The amount that is to be repaid on a loan of ₹12000 for 1 ½ years at 10% per annum compounded half yearly is (in rupees)
(1) 13800
(2) 13891.5
(3) 13991.5
(4) 13981.5
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) 13891.5
దశ 1: అర్ధ సంవత్సరానికి వడ్డీ కలిపితే రేటు సగం అవుతుంది, కాలాలు రెట్టింపు అవుతాయి. రేటు = 10/2 = 5%, కాలాలు n = 1.5 × 2 = 3.
దశ 2: A = P(1 + r/100)ⁿ = 12000 × (1.05)³.
దశ 3: (1.05)³ = 1.157625. కాబట్టి A = 12000 × 1.157625 = ₹ 13891.5.
దశ 4: 13800 సాధారణ వడ్డీ (12000 + 1800) మొత్తం. చక్రవడ్డీ దానికంటే కొంచెం ఎక్కువ ఉండాలి, అది 13891.5.
ప్రశ్న 44
ఒక వ్యక్తి ఒక ఆట వస్తువును ₹ 8000 కు కొని 8% లాభానికి అమ్మెను. అతడు మరొక ఆటవస్తువును ₹ 10000 కు కొని 10% నష్టానికి అమ్మెను. మొత్తం మీద అతనికి
A man bought a toy for ₹ 8000 and sold for a profit of 8%. He bought another toy for ₹ 10000 and sold for 10% loss. On the whole he got
(1) 2% నష్టం (2% loss)
(2) 2% లాభం (2% gain)
(3) 3% నష్టం (3% loss)
(4) 3% లాభం (3% gain)
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 2% నష్టం (2% loss)
దశ 1: మొత్తం కొన్న వెల = 8000 + 10000 = ₹ 18000.
దశ 2: మొదటి వస్తువు అమ్మిన వెల = 8000 × 108/100 = ₹ 8640. రెండోది = 10000 × 90/100 = ₹ 9000. మొత్తం అమ్మిన వెల = ₹ 17640.
దశ 3: నష్టం = 18000 − 17640 = ₹ 360. నష్ట శాతం = 360/18000 × 100 = 2%.
గుర్తుంచుకోండి: ఇక్కడ చాలామంది 10 − 8 = 2 అని నేరుగా రాస్తారు. కొన్న వెలలు వేరువేరుగా ఉన్నప్పుడు ఆ పద్ధతి పనిచేయదు, ఇక్కడ యాదృచ్ఛికంగా సరిపోయింది.
ప్రశ్న 45
ఒక టేబుల్ ప్రకటన వెల ₹ 12800. దుకాణ దారుడు 20% రుసుము ఇచ్చాడు. ఈ 20% రుసుము ఇవ్వగా వచ్చిన అమ్మకం ధరపై బేరం అడగగా మరికొంత రుసుము ఇచ్చి ₹ 8704 కు అమ్మెను. దుకాణ దారుడు రెండవసారి ఇచ్చిన రుసుము శాతం
The market price of a table was ₹ 12800. The shopkeeper offered a discount of 20%. After this discount, on the selling price, on bargaining shopkeeper agreed to give some more discount and sold to ₹ 8704. The second discount offered by the shopkeeper is
(1) 10%
(2) 15%
(3) 12%
(4) 19%
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) 15%
దశ 1: మొదటి 20% రుసుము తర్వాత ధర = 12800 × 80/100 = ₹ 10240.
దశ 2: రెండో రుసుము ఈ ₹ 10240 పైనే ఇచ్చారు. తగ్గిన మొత్తం = 10240 − 8704 = ₹ 1536.
దశ 3: రెండో రుసుము శాతం = 1536/10240 × 100 = 15%.
గుర్తుంచుకోండి: వరుస రుసుములు కలపకూడదు. రెండో రుసుము ఎప్పుడూ మొదటి రుసుము తర్వాత వచ్చిన ధరపైనే లెక్కిస్తారు.
ప్రశ్న 46
ఒక పనిని ‘A’ ఒక్కడే 4 రోజులలో పూర్తిచేయగలడు. ‘B’ అదే పనిని పూర్తిచేయడానికి ‘A’ కి పట్టే సమయానికి రెండింతలు సమయం పడుతుంది. ‘C’ ఒక్కడే ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి ‘B’ కి పట్టే సమయం తీసుకుంటాడు. A B C లు ముగ్గురూ కలిసి పనిచేస్తే ఆ పనిని పూర్తి చేయడానికి పట్టే సమయం (రోజులలో)
‘A’ alone can finish a work in 4 days. ‘B’ takes double the time as taken by A and ‘C’ takes equal days ‘B’ to finish the same work individually. If all the three work together then the time taken to finish the work (in days)
(1) 3
(2) 1
(3) 2
(4) 2 ½
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 2
దశ 1: A కి 4 రోజులు, B కి 2 × 4 = 8 రోజులు, C కి B లాగే 8 రోజులు.
దశ 2: ఒక రోజు పని: A = 1/4, B = 1/8, C = 1/8. ముగ్గురూ కలిసి = 1/4 + 1/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2.
దశ 3: రోజుకు సగం పని జరుగుతుంది, కాబట్టి మొత్తం పనికి 2 రోజులు.
ప్రశ్న 47
క్రింది వానిలో సరికానిది
Identify the statement which is ‘NOT’ true
i. 15 కి.మీ : 5 మీ = 50 గంటలు : 1 నిమిషం (15 km : 5 m = 50 hours : 1 minute)
ii. 2 ½ లీటర్లు : 10 మి.లీ = ½ కి.గ్రా : 1 గ్రా (2 ½ liter : 10 ml = ½ kg : 1 g)
iii. 1 సెకను : 10 నిమిషాలు = ¼ సెం.మీ : 15 మీటర్లు (1 sec : 10 min = ¼ cm : 15 m)
(1) (i) మాత్రమే (only (i))
(2) (ii) మాత్రమే (only (ii))
(3) (ii), (iii)
(4) (i), (iii)
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) (ii), (iii)
దశ 1: నిష్పత్తి పోల్చాలంటే ప్రతి జతలో రెండు రాశులూ ఒకే ప్రమాణంలో ఉండాలి.
దశ 2: i: 15 కి.మీ : 5 మీ = 15000 : 5 = 3000. 50 గంటలు : 1 నిమిషం = 3000 : 1 = 3000. రెండూ సమానం, i సరైనదే.
దశ 3: ii: 2500 మి.లీ : 10 మి.లీ = 250. 500 గ్రా : 1 గ్రా = 500. సమానం కాదు, ii తప్పు.
దశ 4: iii: 1 సె : 600 సె = 1/600. 0.25 సెం.మీ : 1500 సెం.మీ = 1/6000. సమానం కాదు, iii తప్పు. కాబట్టి సరికానివి (ii), (iii).
ప్రశ్న 48
10 బిలియన్ =
10 billion =
(1) 10 కోట్లు (10 crore)
(2) 100 కోట్లు (100 crore)
(3) 1000 మిలియన్ (1000 million)
(4) 10000 మిలియన్ (10000 million)
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) 10000 మిలియన్ (10000 million)
దశ 1: 1 బిలియన్ = 1000 మిలియన్ = 100 కోట్లు (10⁹).
దశ 2: 10 బిలియన్ = 10 × 1000 = 10,000 మిలియన్ = 1000 కోట్లు (10¹⁰).
దశ 3: 100 కోట్లు, 1000 మిలియన్ ఒక బిలియన్‌కే సమానం. 10 కోట్లు ఇంకా చిన్నది. కాబట్టి (4).
గుర్తుంచుకోండి: 1 మిలియన్ = 10 లక్షలు, 1 బిలియన్ = 100 కోట్లు.
ప్రశ్న 49
HCF (300, 550) = a+b మరియు LCM (12, 18) = a−b అయిన a² − b² =
If HCF (300, 550) = a+b and LCM (12, 18) = a−b then a² − b² =
(1) 1800
(2) 1080
(3) 360
(4) 300
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 1800
దశ 1: a² − b² = (a + b)(a − b). కాబట్టి a, b విడిగా కనుక్కోవాల్సిన అవసరం లేదు.
దశ 2: 300 = 2² × 3 × 5², 550 = 2 × 5² × 11. HCF = 2 × 5² = 50.
దశ 3: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². LCM = 2² × 3² = 36.
దశ 4: a² − b² = 50 × 36 = 1800.
ప్రశ్న 50
logₐ(x² − 10) − logₐx = 2 logₐ3 అయిన ‘x’ =
If logₐ(x² − 10) − logₐx = 2 logₐ3 then ‘x’ is
(1) 10
(2) −1
(3) 5
(4) 2
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 10
దశ 1: log m − log n = log(m/n), k log m = log mᵏ. కాబట్టి logₐ[(x² − 10)/x] = logₐ9.
దశ 2: (x² − 10)/x = 9 → x² − 9x − 10 = 0 → (x − 10)(x + 1) = 0. x = 10 లేదా x = −1.
దశ 3: సంవర్గమానం ఋణ సంఖ్యకు నిర్వచించరు, logₐx లో x > 0 కావాలి. అందుకే x = −1 పనికిరాదు, x = 10.
గుర్తుంచుకోండి: సంవర్గమాన సమీకరణం సాధించిన తర్వాత ప్రతి మూలాన్ని log లోపల పెట్టి ధనాత్మకమో కాదో చూడాలి. (2) ఇక్కడి ఉచ్చు.
ప్రశ్న 51
క్రిందివాటిని ఆరోహణ క్రమములో రాయగా,
Ascending order of the following is
A. (−31) ÷ [(−30) + (−1)]
B. [(−60) + 50] ÷ [(−20) + 21]
C. [(−36) ÷ 12] ÷ 3
(1) A, B, C
(2) A, C, B
(3) B, C, A
(4) B, A, C
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) B, C, A
దశ 1: ఒక్కో పదాన్ని సూక్ష్మీకరిద్దాం. A = (−31) ÷ (−31) = 1.
దశ 2: B = (−10) ÷ 1 = −10. C = (−3) ÷ 3 = −1.
దశ 3: ఆరోహణ క్రమం అంటే చిన్నది నుంచి పెద్దదికి: −10 < −1 < 1, అంటే B, C, A.
గుర్తుంచుకోండి: ఋణ సంఖ్యల్లో అంకె పెద్దదైతే విలువ చిన్నది. −10 అన్నిటికంటే చిన్నది.
ప్రశ్న 52
101³+102³+103³+104³+105³+106³+107³ యొక్క ఒకట్ల స్థానంలోని అంకె
The unit digit in 101³+102³+103³+104³+105³+106³+107³ is
(1) 4
(2) 3
(3) 6
(4) 8
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 4
దశ 1: ఒకట్ల అంకె కోసం ప్రతి సంఖ్య ఒకట్ల అంకె ఘనం చూస్తే చాలు.
దశ 2: 1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27 → 7, 4³ = 64 → 4, 5³ = 125 → 5, 6³ = 216 → 6, 7³ = 343 → 3.
దశ 3: మొత్తం = 1 + 8 + 7 + 4 + 5 + 6 + 3 = 34. ఒకట్ల అంకె 4.
ప్రశ్న 53
(5 × 5³⁽ⁿ⁺¹⁾ + 5² × 5³ⁿ⁻¹) / (8 × 5³ⁿ − 5(5³)ⁿ) =
(1) 630
(2) 315
(3) 210
(4) 115
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 210
దశ 1: అన్ని పదాల్లో 5³ⁿ ఉమ్మడిగా తీయాలి. 5 × 5³ⁿ⁺³ = 5³ⁿ × 5⁴ = 625 × 5³ⁿ. 5² × 5³ⁿ⁻¹ = 5³ⁿ × 5¹ = 5 × 5³ⁿ.
దశ 2: లవం = (625 + 5) × 5³ⁿ = 630 × 5³ⁿ.
దశ 3: (5³)ⁿ = 5³ⁿ, కాబట్టి హారం = 8 × 5³ⁿ − 5 × 5³ⁿ = 3 × 5³ⁿ.
దశ 4: విలువ = 630 ÷ 3 = 210. ఇది n మీద ఆధారపడదు.
గుర్తుంచుకోండి: సమాధానం n పై ఆధారపడదని తెలిస్తే n = 1 పెట్టి కూడా సరిచూసుకోవచ్చు.
ప్రశ్న 54
x = 3 + 2√2, అయిన √x − 1/√x
If x = 3 + 2√2 then √x − 1/√x
(1) 6
(2) 4
(3) 2
(4) 1
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 2
దశ 1: 3 + 2√2 = 1 + 2 + 2√2 = (1 + √2)². కాబట్టి √x = 1 + √2.
దశ 2: 1/√x = 1/(1 + √2). హారాన్ని అకరణీయం చేస్తే = (√2 − 1)/(2 − 1) = √2 − 1.
దశ 3: √x − 1/√x = (1 + √2) − (√2 − 1) = 2.
ప్రశ్న 55
A అనేది 20 కన్నా తక్కువైన బేసి ప్రధాన సంఖ్యల సమితి A కు రాయదగు ఉపసమితుల సంఖ్య
A is a set of odd prime numbers below 20 then the number of subsets of A is
(1) 32
(2) 64
(3) 128
(4) 256
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 128
దశ 1: 20 కన్నా తక్కువ ప్రధాన సంఖ్యలు: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. వీటిలో 2 మాత్రమే సరి.
దశ 2: A = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}, n(A) = 7.
దశ 3: n మూలకాలు ఉన్న సమితికి ఉపసమితుల సంఖ్య 2ⁿ. 2⁷ = 128.
గుర్తుంచుకోండి: ఇక్కడ చాలామంది 2 ను కూడా లెక్కించి 2⁸ = 256 ఎంచుకుంటారు. “బేసి” అనే పదమే ఉచ్చు.
ప్రశ్న 56
ఒక గోపుర పాదము నుండి 45.6 మీటర్ల దూరములో ఉంచిన అద్దములో ఒక వ్యక్తి గోపుర శిఖరమును చూసెను. అద్దము నేలపై ఊర్ధ్వదిశలో ఉంచబడినది మరియు ఆ వ్యక్తి అద్దము నుండి 0.5 మీటర్ల దూరములో ఉన్నాడు. అతని కంటి చూపు భూమి నుండి 1.5 మీటర్ల ఎత్తులో నున్న ఆ గోపురము ఎత్తు
A man sees the top of a tower in a mirror which is at a distance 45.6 m from the foot of the tower. The mirror is on the ground facing upwards. The man is 0.5 m away from the mirror and his height is 1.5 m then the tower of height is
(1) 67.65 మీ (67.65 m)
(2) 136.8 మీ (136.8 m)
(3) 140 మీ (140 m)
(4) 152.6 మీ (152.6 m)
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) 136.8 మీ (136.8 m)
దశ 1: పరావర్తన నియమం ప్రకారం పతన కోణం = పరావర్తన కోణం. అందుకే గోపురం, అద్దం, శిఖరం ఏర్పరిచే త్రిభుజం, మనిషి, అద్దం, కన్ను ఏర్పరిచే త్రిభుజం సరూప త్రిభుజాలు (AA సరూపత).
దశ 2: సరూప త్రిభుజాల్లో అనురూప భుజాలు అనుపాతంలో ఉంటాయి: గోపురం ఎత్తు / 45.6 = 1.5 / 0.5.
దశ 3: గోపురం ఎత్తు = 45.6 × 3 = 136.8 మీ.
ప్రశ్న 57
‘O’ కేంద్రంగా గల వృత్తానికి బాహ్యబిందువు A నుండి రెండు స్పర్శ రేఖలు AP మరియు AQ గీయబడ్డాయి. ∠PAQ = 70° అయితే ∠OPQ + ∠OQP విలువ
If two tangents ‘AP’ and ‘AQ’ are drawn to a circle with center ‘O’ from an external point ‘A’. ∠PAQ = 70° then ∠OPQ + ∠OQP is
(1) 70°
(2) 55°
(3) 45°
(4) 35°
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 70°
దశ 1: స్పర్శరేఖ, స్పర్శ బిందువు దగ్గర వ్యాసార్ధానికి లంబం. కాబట్టి ∠OPA = ∠OQA = 90°.
దశ 2: చతుర్భుజం OPAQ లో ∠POQ = 360° − 90° − 90° − 70° = 110°.
దశ 3: త్రిభుజం OPQ లో ∠OPQ + ∠OQP = 180° − 110° = 70°. (OP = OQ కాబట్టి ఒక్కొక్కటి 35°.)
గుర్తుంచుకోండి: (4) 35° ఒక్క కోణం విలువ మాత్రమే. ప్రశ్న రెండిటి మొత్తం అడుగుతోంది.
ప్రశ్న 58
క్రిందివానిలో అసత్యమైన యూక్లిడ్ నిర్వచనము
Which one of the following Euclid definitions is FALSE
(1) రేఖ అంటే వెడల్పు లేని పొడవు (A line is a breadth less length)
(2) తలం అంటే పొడవు, వెడల్పు మరియు మందములను కలిగి ఉన్నది (A surface is that which has length, breadth and thickness)
(3) ఒక తలం యొక్క అంచులు సరళ రేఖలు (The edges of a surface are lines)
(4) ఒక సమతలం అంటే హెచ్చు తగ్గులు లేకుండా సరళరేఖలను దానిపై కలిగి ఉండేది. (A plane surface is a surface which lies evenly with the straight lines on itself.)
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) తలం అంటే పొడవు, వెడల్పు మరియు మందములను కలిగి ఉన్నది (A surface is that which has length, breadth and thickness)
దశ 1: యూక్లిడ్ “ఎలిమెంట్స్” మొదటి పుస్తకంలో బిందువు, రేఖ, తలం లాంటి వాటిని నిర్వచించాడు.
దశ 2: యూక్లిడ్ నిర్వచనం: “తలం అంటే పొడవు, వెడల్పు మాత్రమే ఉన్నది” (A surface is that which has length and breadth only). మందం ఉంటే అది ఘనం (solid) అవుతుంది. కాబట్టి (2) అసత్యం.
దశ 3: (1), (3), (4) యూక్లిడ్ ఇచ్చిన నిర్వచనాలే.
గుర్తుంచుకోండి: బిందువుకు కొలతలు లేవు, రేఖకు ఒకటి (పొడవు), తలానికి రెండు, ఘనానికి మూడు.
ప్రశ్న 59
PQ మరియు RS సరళరేఖలు బిందువు ‘O’ వద్ద ఖండించుకున్నాయి. ∠POR : ∠ROQ = 5:7 అయితే అన్ని కోణాల కొలతలు వరుసగా
Lines PQ and RS intersect each other at point ‘O’. If ∠POR : ∠ROQ = 5:7 then the measures of all four angles are
(1) 55°, 125°, 55°, 125°
(2) 60°, 120°, 60°, 120°
(3) 80°, 100°, 80°, 100°
(4) 75°, 105°, 75°, 105°
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) 75°, 105°, 75°, 105°
దశ 1: ∠POR, ∠ROQ రేఖ PQ పై ఉన్న రేఖీయ ద్వయం, కాబట్టి వాటి మొత్తం 180°.
దశ 2: 5x + 7x = 180° → x = 15°. ∠POR = 75°, ∠ROQ = 105°.
దశ 3: శీర్షాభిముఖ కోణాలు సమానం: ∠QOS = 75°, ∠SOP = 105°. నాలుగు కోణాలు 75°, 105°, 75°, 105°.
ప్రశ్న 60
∠A యొక్క పూరకకోణము ∠A నకు ఎనిమిది రెట్లు అయిన ∠A యొక్క సంపూరక, పూరక కోణాల వ్యత్యాసం
The complementary angle of ∠A is eight times to ∠A. Then the difference of supplementary and complementary angles of ∠A is
(1) 250°
(2) 170°
(3) 90°
(4) 80°
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 90°
దశ 1: 90° − A = 8A → 9A = 90° → A = 10°.
దశ 2: సంపూరక కోణం = 180° − 10° = 170°. పూరక కోణం = 90° − 10° = 80°.
దశ 3: వ్యత్యాసం = 170° − 80° = 90°.
గుర్తుంచుకోండి: (180° − A) − (90° − A) = 90°. ఏ కోణానికైనా ఈ వ్యత్యాసం ఎప్పుడూ 90° నే.
ప్రశ్న 61
ABCD రాంబస్‌లో AB=BD అయితే ∠BAD : ∠ADC
In a rhombus ABCD, AB=BD then ∠BAD : ∠ADC is
(1) 1 : 2
(2) 2 : 1
(3) 3 : 2
(4) 2 : 3
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 1 : 2
దశ 1: రాంబస్‌లో నాలుగు భుజాలూ సమానం, కాబట్టి AB = AD. ఇప్పుడు AB = BD కూడా. అంటే త్రిభుజం ABD లో AB = AD = BD, ఇది సమబాహు త్రిభుజం.
దశ 2: కాబట్టి ∠BAD = 60°.
దశ 3: రాంబస్ ఒక సమాంతర చతుర్భుజం, ఆసన్న కోణాలు సంపూరకాలు. ∠ADC = 180° − 60° = 120°.
దశ 4: ∠BAD : ∠ADC = 60 : 120 = 1 : 2.
ప్రశ్న 62
కింద ఇవ్వబడిన చతుర్భుజాలలో ఎల్లప్పుడూ చక్రీయం కానిది
In the following quadrilaterals which is NOT always cyclic
(1) చతురస్రము (Square)
(2) దీర్ఘచతురస్రము (Rectangle)
(3) సమద్విబాహు సమలంబ చతుర్భుజం (Isosceles Trapezium)
(4) సమాంతర చతుర్భుజం (Parallelogram)
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) సమాంతర చతుర్భుజం (Parallelogram)
దశ 1: ఒక చతుర్భుజం చక్రీయం కావాలంటే దాని ఎదురెదురు కోణాల మొత్తం 180° ఉండాలి.
దశ 2: చతురస్రం, దీర్ఘచతురస్రంలో ప్రతి కోణం 90°, ఎదురు కోణాల మొత్తం 180°. సమద్విబాహు సమలంబ చతుర్భుజంలో భూకోణాలు సమానం కాబట్టి ఎదురు కోణాలు సంపూరకాలు. ఈ మూడూ ఎప్పుడూ చక్రీయమే.
దశ 3: సమాంతర చతుర్భుజంలో ఎదురు కోణాలు సమానం. అవి 90° అయితేనే (అంటే అది దీర్ఘచతురస్రమైతేనే) మొత్తం 180° అవుతుంది. కాబట్టి అది ఎల్లప్పుడూ చక్రీయం కాదు.
ప్రశ్న 63
40 తలాలు మరియు 62 అంచులు గల ఘనాకార వస్తువుకు గల శీర్షాల సంఖ్య
The number of vertices of a solid which has 40 faces and 62 edges is
(1) 20
(2) 24
(3) 102
(4) 22
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) 24
దశ 1: ఆయిలర్ సూత్రం (Euler’s formula): F + V − E = 2.
దశ 2: 40 + V − 62 = 2 → V = 2 + 62 − 40 = 24.
ప్రశ్న 64
15 సెం.మీ, 12 సెం.మీ మరియు 9 సెం.మీ భుజములుగా గల మూడు లోహపు ఘనములను కరిగించి ఒక ఘనముగా మార్చితే, ఏర్పడిన ఘనము యొక్క కర్ణము పొడవు సెం.మీ.లలో
Three metal cubes with edges 15 cm, 12 cm and 9 cm respectively are melted together and formed into a cube, then the length of its diagonal in cm
(1) 28√2
(2) 18√3
(3) 18√2
(4) 28√3
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) 18√3
దశ 1: కరిగించి మళ్లీ పోస్తే ఘనపరిమాణం మారదు. మొత్తం ఘనపరిమాణం = 15³ + 12³ + 9³ = 3375 + 1728 + 729 = 5832 ఘ.సెం.మీ.
దశ 2: కొత్త ఘనం భుజం a = ∛5832 = 18 సెం.మీ.
దశ 3: ఘనం కర్ణం = a√3 = 18√3 సెం.మీ.
గుర్తుంచుకోండి: ఘనం ముఖ కర్ణం a√2, ఘనం కర్ణం a√3. (3) 18√2 ముఖ కర్ణం, ఇది ఉచ్చు.
ప్రశ్న 65
ఒక స్థూపం, ఒక శంఖువు మరియు అర్ధగోళం ఒకే ఎత్తు, ఒకే వ్యాసార్ధంను కలిగి యున్నాయి. అయినచో వాటి యొక్క సంపూర్ణతల వైశాల్యాల నిష్పత్తి
A cylinder, cone and a hemi sphere are of the same base radius and same height. Then ratio of their total surface areas
(1) 4 : √5+1 : 3
(2) 4 : √2+1 : 3
(3) 4 : √5+1 : 2
(4) 4 : √2+1 : 4
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) 4 : √2+1 : 3
దశ 1: అర్ధగోళం ఎత్తు దాని వ్యాసార్ధమే. కాబట్టి మూడింటికీ h = r.
దశ 2: స్థూపం సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 2πr(r + h) = 2πr × 2r = 4πr².
దశ 3: శంఖువు ఏటవాలు ఎత్తు l = √(r² + r²) = √2 r. సంపూర్ణతల వైశాల్యం = πr(r + l) = πr²(1 + √2).
దశ 4: అర్ధగోళం సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 3πr². నిష్పత్తి = 4 : √2+1 : 3.
ప్రశ్న 66
22.4 సెం.మీ వ్యాసార్ధం కలిగిన చక్రం 500 భ్రమణాలు చేసిన ప్రయాణించు దూరం మీటర్లలో
The radius of a wheel is 22.4 cm then the distance covered in meters by the wheel after making 500 revolutions is
(1) 70400
(2) 80800
(3) 808
(4) 704
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) 704
దశ 1: ఒక భ్రమణంలో చక్రం దాని చుట్టుకొలత అంత దూరం వెళ్తుంది. చుట్టుకొలత = 2πr = 2 × 22/7 × 22.4 = 140.8 సెం.మీ.
దశ 2: 500 భ్రమణాల దూరం = 140.8 × 500 = 70400 సెం.మీ.
దశ 3: మీటర్లలో = 70400 ÷ 100 = 704 మీ.
గుర్తుంచుకోండి: (1) 70400 సెంటీమీటర్లలో వచ్చిన విలువ. ప్రశ్న మీటర్లు అడిగింది.
ప్రశ్న 67
2.1 సెం.మీ వ్యాసార్ధం కలిగిన గోళం యొక్క ఘనపరిమాణం సెం.మీ³ లలో
The volume of a sphere of radius 2.1 cm in cm³
(1) 38.808
(2) 37.808
(3) 36.808
(4) 35.808
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 38.808
దశ 1: గోళం ఘనపరిమాణం = 4/3 πr³.
దశ 2: r³ = 2.1³ = 9.261.
దశ 3: V = 4/3 × 22/7 × 9.261 = 88/21 × 9.261 = 38.808 ఘ.సెం.మీ.
ప్రశ్న 68
ΔABC లో D, E మరియు F లు వరుసగా AB, BC మరియు CA భుజాల మధ్య బిందువులు. ΔDEF వైశాల్యం 6.25 చ.సెం.మీ అయిన ట్రెపీజియం ABEF వైశాల్యం చ.సెం.మీ లలో
In a ΔABC, D, E and F are mid-points of sides AB, BC and CA respectively. If area of ΔDEF is 6.25 cm² then area of trapezium ABEF in cm²
(1) 12.5
(2) 18.75
(3) 25
(4) 13.5
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) 18.75
దశ 1: మధ్య బిందువులను కలిపితే ΔABC నాలుగు సర్వసమాన త్రిభుజాలుగా విడిపోతుంది: ADF, DBE, EFC, DEF.
దశ 2: ప్రతి త్రిభుజం వైశాల్యం 6.25, కాబట్టి ΔABC = 4 × 6.25 = 25 చ.సెం.మీ.
దశ 3: మధ్య బిందువు సిద్ధాంతం ప్రకారం EF ∥ AB, కాబట్టి ABEF సమలంబ చతుర్భుజం. దాని వైశాల్యం = ΔABC − ΔCFE = 25 − 6.25 = 18.75 చ.సెం.మీ.
ప్రశ్న 69
ఒక అర్ధగోళం యొక్క ఘనపరిమాణం మరియు సంపూర్ణ తల వైశాల్యం సంఖ్యా పరంగా సమానం అయిన దాని వ్యాసం సెం.మీ లలో
Volume and total surface area of hemisphere are numerically equal, then its diameter in centimeters
(1) 4.5
(2) 6
(3) 9
(4) 12
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 9
దశ 1: అర్ధగోళం ఘనపరిమాణం = 2/3 πr³, సంపూర్ణతల వైశాల్యం = 3πr².
దశ 2: 2/3 πr³ = 3πr² → r = 9/2 = 4.5 సెం.మీ.
దశ 3: వ్యాసం = 2r = 9 సెం.మీ.
గుర్తుంచుకోండి: (1) 4.5 వ్యాసార్ధం. ప్రశ్న వ్యాసం అడిగింది.
ప్రశ్న 70
సమాన వ్యాసార్ధం గల నాలుగు వృత్తాలు ఒకటి మరి రెండింటిని స్పృశించునట్లు ఒక తలంలో ఉంచబడినవి. వాటి మధ్య ఏర్పడిన ఖాళీ ప్రదేశ వైశాల్యం 42 చ.సెం.మీ అయిన ఆ నాలుగు వృత్తాల చుట్టుకొలత (సెం.మీ లలో)
Four equal circles are arranged in a plane such that each circle touches other two. If the empty region enclosed by the four circles is 42 cm², then the total circumference of the four circles is (in centimeters)
(1) 188
(2) 186
(3) 176
(4) 166
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 176
దశ 1: నాలుగు కేంద్రాలను కలిపితే 2r భుజం ఉన్న చతురస్రం వస్తుంది. ఆ చతురస్రంలో ప్రతి మూలా ఒక వృత్తంలో పావు భాగం ఉంటుంది, అంటే మొత్తం ఒక పూర్తి వృత్తం.
దశ 2: ఖాళీ వైశాల్యం = (2r)² − πr² = r²(4 − 22/7) = 6r²/7 = 42. కాబట్టి r² = 49, r = 7 సెం.మీ.
దశ 3: ఒక వృత్తం చుట్టుకొలత = 2 × 22/7 × 7 = 44 సెం.మీ. నాలుగు వృత్తాలవి కలిపి = 4 × 44 = 176 సెం.మీ.
ప్రశ్న 71
ఒక క్రమ షడ్భుజి 14.49 సెం.మీ వ్యాసార్ధం గల వృత్తంలో అంతర్లిఖించబడింది. అయిన వాటి చుట్టుకొలతలలో తేడా సెం.మీ లలో
A regular hexagon inscribed in a circle whose radius is 14.49 cm then difference of their perimeters in centimeters
(1) 4.44
(2) 4.34
(3) 4.24
(4) 4.14
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) 4.14
దశ 1: వృత్తంలో అంతర్లిఖించిన క్రమ షడ్భుజి భుజం వృత్త వ్యాసార్ధానికి సమానం. ఎందుకంటే కేంద్రం దగ్గర ఏర్పడే ఆరు త్రిభుజాలూ సమబాహు త్రిభుజాలు.
దశ 2: షడ్భుజి చుట్టుకొలత = 6 × 14.49 = 86.94 సెం.మీ.
దశ 3: వృత్తం చుట్టుకొలత (π = 22/7) = 2 × 22/7 × 14.49 = 91.08 సెం.మీ.
దశ 4: తేడా = 91.08 − 86.94 = 4.14 సెం.మీ.
గుర్తుంచుకోండి: తేడా = r(2π − 6) = 2r/7 (π = 22/7 అయితే). 2 × 14.49/7 = 4.14.
ప్రశ్న 72
ABCD అను ఒక చతుర్భుజంలో AB = BC మరియు CD = AD అయిన దాని సౌష్ఠవ అక్షాల సంఖ్య
ABCD is a quadrilateral in which AB = BC and CD = AD then number of lines symmetry of it
(1) 0
(2) 1
(3) 2
(4) 3
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) 1
దశ 1: ఆసన్న భుజాలు రెండు జతలుగా సమానంగా (AB = BC, CD = DA) ఉన్న చతుర్భుజం గాలిపటం (Kite).
దశ 2: గాలిపటానికి సమాన భుజాలు కలిసే శీర్షాలను కలిపే కర్ణం BD ఒక్కటే సౌష్ఠవ అక్షం. దాని వెంట మడిస్తే ABD, CBD సరిగ్గా కలుస్తాయి.
దశ 3: నాలుగు భుజాలూ సమానమైతే అది రాంబస్ అవుతుంది (2 అక్షాలు). ప్రశ్నలో అలా చెప్పలేదు కాబట్టి సాధారణ గాలిపటానికి 1 అక్షం.
ప్రశ్న 73
క్రింది బహుపదులను వాటి శూన్యాలతో జతపరచండి
Match the following polynomials with their zeroes
| బహుపది | శూన్యం | ||
|---|---|---|---|
| A) | 5x − 15 | (i) | −1 |
| B) | x² + 2x − 8 | (ii) | 1 |
| C) | 3x³ − x² + x − 3 | (iii) | 2 |
| D) | 4x³ + 2x² + 3x + 5 | (iv) | 3 |
(1) A-ii, B-iii, C-iv, D-i
(2) A-iv, B-iii, C-ii, D-i
(3) A-iv, B-ii, C-iii, D-i
(4) A-iv, B-iii, C-i, D-ii
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) A-iv, B-iii, C-ii, D-i
దశ 1: A: 5x − 15 = 0 → x = 3, కాబట్టి A-iv.
దశ 2: B: x² + 2x − 8 = (x + 4)(x − 2), శూన్యాలు 2, −4. జాబితాలో ఉన్నది 2, కాబట్టి B-iii.
దశ 3: C: x = 1 పెడితే 3 − 1 + 1 − 3 = 0, కాబట్టి C-ii. D: x = −1 పెడితే −4 + 2 − 3 + 5 = 0, కాబట్టి D-i.
దశ 4: A-iv, B-iii, C-ii, D-i ఉన్నది ఆప్షన్ (2).
ప్రశ్న 74
3x² − x³ − 3x + 5 ను x − 1 − x² చే భాగించగా వచ్చు భాగ ఫలము మరియు శేషములు
The quotient and remainder when a polynomial 3x² − x³ − 3x + 5 is divided by x − 1 − x² are
(1) x − 3, 7
(2) x − 3, 3
(3) x − 2, 7
(4) x − 2, 3
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) x − 2, 3
దశ 1: అవరోహణ క్రమంలో రాద్దాం. భాజ్యం = −x³ + 3x² − 3x + 5, భాజకం = −x² + x − 1.
దశ 2: −x³ ÷ −x² = x. x(−x² + x − 1) = −x³ + x² − x. తీసివేస్తే 2x² − 2x + 5.
దశ 3: 2x² ÷ −x² = −2. −2(−x² + x − 1) = 2x² − 2x + 2. తీసివేస్తే శేషం 3.
దశ 4: భాగఫలం x − 2, శేషం 3. సరిచూడటం: (−x² + x − 1)(x − 2) + 3 = −x³ + 3x² − 3x + 5.
ప్రశ్న 75
8 యొక్క 5 వరుస గుణిజాల మొత్తం 840 అయిన వాటిలో అతి చిన్న గుణిజం
If sum of 5 consecutive multiples of 8 is 840 then the smallest number among them is
(1) 152
(2) 159
(3) 168
(4) 176
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 152
దశ 1: గుణిజాలు 8x, 8x + 8, 8x + 16, 8x + 24, 8x + 32 అనుకుందాం. మొత్తం = 40x + 80 = 840.
దశ 2: 40x = 760 → x = 19. అతి చిన్నది = 8 × 19 = 152.
దశ 3: సరిచూడటం: 152 + 160 + 168 + 176 + 184 = 840. 159 అసలు 8 గుణిజమే కాదు.
గుర్తుంచుకోండి: బేసి సంఖ్యలో వరుస పదాలుంటే మధ్య పదం = మొత్తం ÷ పదాల సంఖ్య = 168. దానికి రెండు మెట్లు కిందకి 152.
ప్రశ్న 76
3x − 5y + 8 = 0 మరియు 1.5x + ky − 11 = 0 లు రెండు సమాంతర రేఖలను సూచిస్తే k =
If 3x − 5y + 8 = 0 and 1.5x + ky − 11 = 0 represents parallel lines then k =
(1) 1 ½
(2) −1 ½
(3) 2 ½
(4) −2 ½
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) −2 ½
దశ 1: a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0 సమాంతర రేఖలు కావాలంటే a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂.
దశ 2: a₁/a₂ = 3/1.5 = 2. కాబట్టి −5/k = 2 → k = −5/2 = −2 ½.
దశ 3: c₁/c₂ = 8/(−11), ఇది 2 కు సమానం కాదు. కాబట్టి రేఖలు ఏకీభవించవు, సమాంతరమే.
ప్రశ్న 77
3x² − 5x − 2 యొక్క శూన్యాలు α, β అయితే 1/α² + 1/β² =
If α, β are zeros of 3x² − 5x − 2 then 1/α² + 1/β² =
(1) 7 ¼
(2) 8 ¼
(3) 9 ¼
(4) 10 ¼
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 9 ¼
దశ 1: α + β = −b/a = 5/3, αβ = c/a = −2/3.
దశ 2: 1/α² + 1/β² = (α² + β²)/(αβ)². α² + β² = (α + β)² − 2αβ = 25/9 + 4/3 = 37/9.
దశ 3: (αβ)² = 4/9. కాబట్టి విలువ = (37/9) ÷ (4/9) = 37/4 = 9 ¼.
దశ 4: సరిచూడటం: శూన్యాలు 2, −1/3. 1/4 + 9 = 9 ¼.
ప్రశ్న 78
x − 1/x = 7 అయితే x³ − 1/x³
If x − 1/x = 7 then x³ − 1/x³
(1) 322
(2) 343
(3) 350
(4) 364
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) 364
దశ 1: సర్వసమీకరణం: a³ − b³ = (a − b)³ + 3ab(a − b). ఇక్కడ a = x, b = 1/x, ab = 1.
దశ 2: x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x) = 7³ + 3 × 7.
దశ 3: = 343 + 21 = 364.
గుర్తుంచుకోండి: (2) 343 కేవలం 7³. 3(x − 1/x) పదాన్ని మర్చిపోతే అదే వస్తుంది.
ప్రశ్న 79
1/x − 1/(x − 2) = 3, x ≠ 0, 2 అయిన ఒక మూలం
One of the roots of 1/x − 1/(x − 2) = 3, x ≠ 0, 2
(1) (3 − √2)/2
(2) (3 − √2)/3
(3) (3 − √3)/3
(4) (3 − √3)/2
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) (3 − √3)/3
దశ 1: ఎడమవైపు సూక్ష్మీకరిస్తే [(x − 2) − x] / [x(x − 2)] = −2 / (x² − 2x) = 3.
దశ 2: −2 = 3x² − 6x → 3x² − 6x + 2 = 0.
దశ 3: x = [6 ± √(36 − 24)] / 6 = (6 ± 2√3)/6 = (3 ± √3)/3.
దశ 4: మూలాలు (3 + √3)/3, (3 − √3)/3. ఆప్షన్లలో ఉన్నది (3 − √3)/3.
ప్రశ్న 80
1/3, 1/9, 1/27, …… శ్రేణిలో 1/19683 ఎన్నవ పదం
Which term of the progression 1, 1/3, 1/9, 1/27, …… is 1/19683
అధికారిక నోట్: ఈ ప్రశ్నలో / సమాధానాల్లో అస్పష్టత కనిపించింది. సరైన ఆప్షన్లలో దేనిని గుర్తించినా అభ్యర్థికి పూర్తి మార్కులు వస్తాయి.
(1) 9
(2) 10
(3) 11
(4) 12
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1), (2) ఆప్షన్లకు పూర్తి మార్కులు (అధికారిక కీ)
దశ 1: 19683 = 3⁹. ఇది గుణశ్రేణి (G.P.), సామాన్య నిష్పత్తి r = 1/3. n వ పదం = a·rⁿ⁻¹.
దశ 2: ఇంగ్లీష్ ప్రశ్నలో శ్రేణి 1 తో మొదలవుతుంది (a = 1). అప్పుడు (1/3)ⁿ⁻¹ = 1/3⁹ → n − 1 = 9 → n = 10, అంటే ఆప్షన్ (2).
దశ 3: తెలుగు ప్రశ్నలో మొదటి పదం 1 లేదు, శ్రేణి 1/3 తో మొదలవుతుంది (a = 1/3). అప్పుడు (1/3)ⁿ = 1/3⁹ → n = 9, అంటే ఆప్షన్ (1).
దశ 4: రెండు భాషల్లో శ్రేణి వేరుగా ముద్రించడమే అస్పష్టతకు కారణం. అందుకే అధికారిక కీ (1), (2) రెండింటికీ టిక్ పెట్టి, వీటిలో ఏది గుర్తించినా పూర్తి మార్కులు అని నోట్ ఇచ్చింది. ఇంగ్లీష్ పాఠాన్ని ప్రమాణంగా తీసుకుంటే ఎక్కువ సమర్థనీయమైన సమాధానం 10. (3), (4) ఏ రూపంలోనూ రావు.
ప్రశ్న 81
⁽ⁿ⁺¹⁾P₅ : ⁿP₅ = 3 : 2 అయిన n =
If ⁽ⁿ⁺¹⁾P₅ : ⁿP₅ = 3 : 2 then n =
(1) 10
(2) 12
(3) 14
(4) 16
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 14
దశ 1: ⁿPᵣ = n!/(n − r)!. కాబట్టి ⁽ⁿ⁺¹⁾P₅ = (n + 1)!/(n − 4)!, ⁿP₅ = n!/(n − 5)!.
దశ 2: నిష్పత్తి = [(n + 1)!/(n − 4)!] × [(n − 5)!/n!] = (n + 1)/(n − 4).
దశ 3: (n + 1)/(n − 4) = 3/2 → 2n + 2 = 3n − 12 → n = 14.
దశ 4: సరిచూడటం: 15/10 = 3/2.
ప్రశ్న 82
f: R → R, g: R → R లను f(x) = 4x − 1, g(x) = x² + 2 గా నిర్వచిస్తే (gof)((a + 1)/4) =
If f: R → R, g: R → R are defined by f(x) = 4x − 1 and g(x) = x² + 2 then (gof)((a + 1)/4) =
(1) a² + 2
(2) a² − 2
(3) ((a + 1)/2)² + 7
(4) ((a + 1)/2)² − 7
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) a² + 2
దశ 1: (gof)(x) = g(f(x)). ముందు f, తర్వాత g వేయాలి.
దశ 2: f((a + 1)/4) = 4 × (a + 1)/4 − 1 = a + 1 − 1 = a.
దశ 3: g(a) = a² + 2.
ప్రశ్న 83
మాత్రిక A లో మూలకాలు 2, −5 ల సహ గుణావయవాల మొత్తం
The sum of co-factors the elements 2, −5 in the matrix A
| −1 | 0 | 5 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | −2 |
| −4 | −5 | 3 |
(1) 14
(2) 17
(3) 20
(4) 23
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 20
దశ 1: aᵢⱼ సహగుణావయవం Aᵢⱼ = (−1)ⁱ⁺ʲ × (i వ అడ్డు వరుస, j వ నిలువు వరుస తొలగించగా వచ్చే మైనర్).
దశ 2: 2 స్థానం (2, 2). మైనర్ = (−1)(3) − (5)(−4) = −3 + 20 = 17. గుర్తు (−1)⁴ = +, కాబట్టి సహగుణావయవం 17.
దశ 3: −5 స్థానం (3, 2). మైనర్ = (−1)(−2) − (5)(1) = 2 − 5 = −3. గుర్తు (−1)⁵ = −, కాబట్టి సహగుణావయవం 3.
దశ 4: మొత్తం = 17 + 3 = 20.
గుర్తుంచుకోండి: (2) 17 ఒక్క సహగుణావయవమే. రెండోదాని గుర్తు మార్పు మర్చిపోతే 14 వస్తుంది.
ప్రశ్న 84
8 పరిశీలనాంశముల సగటు 43. పొరపాటున ఒక పరిశీలనాంశం −12 కు బదులుగా 12గా తీసుకోబడినది. అయితే సరియైన సగటు
The mean of 8 observations is 43. By mistake one observation is taken as 12 instead of −12. Then correct mean is
(1) 46
(2) 40
(3) 43
(4) 42
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) 40
దశ 1: తప్పు మొత్తం = 8 × 43 = 344.
దశ 2: −12 బదులు 12 తీసుకున్నారు, కాబట్టి మొత్తం 24 ఎక్కువ వచ్చింది. సరైన మొత్తం = 344 − 24 = 320.
దశ 3: సరైన సగటు = 320 ÷ 8 = 40.
ప్రశ్న 85
1-5, 6-10, 11-15, 16-20…. తరగతి అంతరాలు అయిన 11-15 తరగతి యొక్క ఎగువ హద్దు
The class intervals are 1-5, 6-10, 11-15, 16-20…. Then the upper boundary of 11-15 is
(1) 15.5
(2) 15
(3) 14.5
(4) 10.5
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 15.5
దశ 1: ఇవి అసంతత (inclusive) తరగతులు. ఒక తరగతి ఎగువ అవధికి, తర్వాతి తరగతి దిగువ అవధికి మధ్య తేడా 1.
దశ 2: ఆ తేడాలో సగం, అంటే 0.5, ఎగువ అవధికి కలిపితే ఎగువ హద్దు వస్తుంది. 15 + 0.5 = 15.5.
దశ 3: 15 ఎగువ అవధి (upper limit), హద్దు కాదు. 10.5 ఈ తరగతి దిగువ హద్దు.
ప్రశ్న 86
కింద ఇవ్వబడిన వాటిలో ఒకే సగటు, మధ్య గతము మరియు బాహుళకము కలిగినది
Which of the following have same mean, median and mode
(1) 2, 3, 0, 4, 2, 4, 2
(2) 4, 5, 2, 2, 6, 4, 2
(3) 2, 3, 7, 3, 8, 1, 4
(4) 4, 2, 4, 3, 4, 7, 4
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) 4, 2, 4, 3, 4, 7, 4
దశ 1: (4) ను ఆరోహణ క్రమంలో రాస్తే 2, 3, 4, 4, 4, 4, 7. సగటు = 28 ÷ 7 = 4. మధ్యగతం (4 వ విలువ) = 4. బాహుళకం = 4 (నాలుగుసార్లు వచ్చింది). మూడూ సమానం.
దశ 2: (1): సగటు 17/7 ≈ 2.43, మధ్యగతం 2, బాహుళకం 2. సగటు తేడా.
దశ 3: (2): సగటు 25/7 ≈ 3.57, మధ్యగతం 4, బాహుళకం 2. (3): సగటు 4, మధ్యగతం 3, బాహుళకం 3. రెండూ సరిపోవు.
ప్రశ్న 87
వృత్తరేఖా చిత్రంలో ఒక భాగం 30% అయిన దాని సెక్టారు కోణం
A part with 30% of the total value will have an angle in the pie chart is
(1) 108°
(2) 72°
(3) 144°
(4) 126°
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 108°
దశ 1: వృత్తరేఖా చిత్రంలో మొత్తం 100% = 360°.
దశ 2: సెక్టారు కోణం = 30/100 × 360° = 108°.
గుర్తుంచుకోండి: 1% = 3.6°. 30% = 30 × 3.6 = 108°.
ప్రశ్న 88
క్రింది వానిలో సత్య ప్రవచనం ఏది?
Which of the statements is TRUE?
(a) కమ్మీ రేఖాచిత్రంలో ప్రతి దీర్ఘకమ్మీ వైశాల్యం ఆ తరగతి అంతరాల పౌనఃపున్యలకు అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. (In a histogram each area of rectangular bar is proportional to frequency in the respective class interval)
(b) కమ్మీరేఖా చిత్రం నిరంతర పౌనఃపున్య వర్గీకరణ యొక్క గ్రాఫ్ అవుతుంది. (Histogram is a graph of continuous frequency distribution)
(c) గ్రాఫ్‌లు గీచేటప్పుడు X-అక్షంపై మొదటి విలువ సున్నతో ప్రారంభంకాకపోతే కింక్‌ను గుర్తిస్తాము. (If the first class interval is started from value and not zero, kink will be marked on x-axis in the graph)
(1) a మాత్రమే (a only)
(2) b మాత్రమే (b only)
(3) a మరియు b మాత్రమే (a and b only)
(4) a, b మరియు c (a, b and c)
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) a, b మరియు c (a, b and c)
దశ 1: సోపాన చిత్రం (Histogram)లో ప్రతి దీర్ఘచతురస్రం వైశాల్యం ఆ తరగతి పౌనఃపున్యానికి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. తరగతి వెడల్పులు సమానమైతే ఎత్తులూ అనుపాతంలో ఉంటాయి. a సత్యం.
దశ 2: సోపాన చిత్రం నిరంతర (continuous) తరగతులకే గీస్తారు. అందుకే కమ్మీల మధ్య ఖాళీ ఉండదు. b సత్యం.
దశ 3: X-అక్షం మీద మొదటి తరగతి సున్నా నుంచి కాకుండా ఏదో విలువ నుంచి మొదలైతే, మధ్యలో వదిలిన భాగాన్ని చూపడానికి కింక్ (zig-zag గుర్తు) వేస్తారు. c సత్యం.
దశ 4: మూడూ సత్యాలే, కాబట్టి (4).
ప్రశ్న 89
ప్రామాణిక విచలనం 6.66 అయిన విస్తృతి విలువ
If standard deviation of data is 6.66 then variance is
(1) 13.2356
(2) 13.3256
(3) 43.4656
(4) 44.3556
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) 44.3556
దశ 1: విస్తృతి (Variance) = (ప్రామాణిక విచలనం)².
దశ 2: 6.66² = 6.66 × 6.66 = 44.3556.
గుర్తుంచుకోండి: 13.32 అంటే 2 × 6.66. వర్గం బదులు రెట్టింపు చేస్తే వచ్చే ఉచ్చు ఆప్షన్లు (1), (2).
ప్రశ్న 90
‘A’ మరియు ‘B’ రెండు పాచికలను ఒకేసారి ఎగురవేశారు. పాచిక ‘B’ లో పొందిన సంఖ్యకు పాచిక A లోని సంఖ్య గుణిజం కావడానికి సంభావ్యత
Two dice ‘A’ and ‘B’ are thrown together. The probability that the number obtained on dice A is a multiple of number obtained dice ‘B’ is
(1) 1/3
(2) 7/18
(3) 5/18
(4) 15/36
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) 7/18
దశ 1: మొత్తం ఫలితాలు = 6 × 6 = 36.
దశ 2: B లో వచ్చిన ప్రతి సంఖ్యకు A లో దాని గుణిజాలు లెక్కిద్దాం. B = 1: A = 1 నుంచి 6 (6). B = 2: 2, 4, 6 (3). B = 3: 3, 6 (2). B = 4: 4 (1). B = 5: 5 (1). B = 6: 6 (1).
దశ 3: అనుకూల ఫలితాలు = 6 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 14. సంభావ్యత = 14/36 = 7/18.
ప్రశ్న 91
30 సెం.మీ పొడవు మరియు 20 సెం.మీ వెడల్పు గల దీర్ఘ చతురస్రాకార కాగితంపై 7 సెం.మీ వ్యాసార్ధం గల వృత్తం గీయబడింది. కాగితంపై ఒక వస్తువు విసిరి వేయబడింది. కాగితంలో వృత్తానికి బయట వైపున వస్తువు పడడానికి సంభావ్యత కనుగొనండి.
A circle is drawn with radius 7 cm on a rectangular paper of length 30 cm and breadth 20 cm. Now an object is thrown on paper. Find the probability of object that lands outside of the circle on the paper.
(1) 77/300
(2) 77/150
(3) 223/150
(4) 223/300
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) 223/300
దశ 1: కాగితం వైశాల్యం = 30 × 20 = 600 చ.సెం.మీ. వృత్తం వైశాల్యం = 22/7 × 7 × 7 = 154 చ.సెం.మీ.
దశ 2: వృత్తానికి బయటి వైశాల్యం = 600 − 154 = 446 చ.సెం.మీ.
దశ 3: సంభావ్యత = 446/600 = 223/300.
దశ 4: 77/300 వృత్తం లోపల పడే సంభావ్యత. 223/150 ఒకటి కంటే ఎక్కువ, సంభావ్యత కాలేదు.
ప్రశ్న 92
బాగా కలుపబడిన పేకముక్కల కట్టనుండి బేసిసంఖ్య కలిగిన కార్డులు తొలగించబడ్డాయి. అయితే కింది వాటిలో అసత్యము ఏది?
From a single deck of shuffled cards, all odd number cards are removed. Then which of the following is FALSE?
(1) ఎరుపు ముఖ కార్డు పొందడానికి సంభావ్యత 1/6 (Probability of getting red face card is 1/6)
(2) ఏస్‌కార్డు పొందడానికి సంభావ్యత 1/9 (Probability of getting ace card is 1/9)
(3) నలుపు రాజు కార్డు పొందడానికి సంభావ్యత 1/36 (Probability of getting black king is 1/36)
(4) జాకీ కార్డును పొందడానికి సంభావ్యత 1/9 (Probability of getting jack card 1/9)
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) నలుపు రాజు కార్డు పొందడానికి సంభావ్యత 1/36 (Probability of getting black king is 1/36)
దశ 1: బేసి సంఖ్య కార్డులు ప్రతి సూట్‌లో 3, 5, 7, 9 (4 కార్డులు). నాలుగు సూట్‌లలో 16 కార్డులు తీసేస్తే మిగిలేవి 52 − 16 = 36.
దశ 2: ఎరుపు ముఖ కార్డులు 6 → 6/36 = 1/6. ఏస్‌లు 4 → 4/36 = 1/9. జాక్‌లు 4 → 4/36 = 1/9. ఇవి సత్యాలు.
దశ 3: నలుపు రాజులు 2 (స్పేడ్, క్లబ్) → 2/36 = 1/18. కాబట్టి 1/36 అనడం అసత్యం.
గుర్తుంచుకోండి: ఏస్‌ను 1 గా తీసుకుంటే అదీ బేసి అవుతుంది, కానీ అప్పుడు (2) తో సహా ఏ ఆప్షనూ సరిపోదు. కీ ఏస్‌ను సంఖ్య కార్డుగా లెక్కించలేదు.
ప్రశ్న 93
E₁ మరియు E₂లు పరస్పర వర్జిత ఘటనలు అయిన E₁ ∩ E₂
If E₁ and E₂ are mutually exclusive events, then E₁ ∩ E₂ is
(1) { }
(2) అసాధ్య ఘటన యొక్క సంభావ్యత (Probability of impossible event)
(3) ఖచ్చిత ఘటన యొక్క సంభావ్యత (probability of sure event)
(4) E₁ ∪ E₂
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) { }
దశ 1: పరస్పర వర్జిత ఘటనలు (Mutually exclusive events) ఒకేసారి జరగవు. వాటికి ఉమ్మడి ఫలితం ఏదీ ఉండదు.
దశ 2: కాబట్టి E₁ ∩ E₂ = ∅ = { } (శూన్య సమితి).
దశ 3: (2) అసాధ్య ఘటన సంభావ్యత అంటే 0. అది ఒక సంఖ్య, సమితి కాదు. P(E₁ ∩ E₂) = 0 అవుతుంది కానీ E₁ ∩ E₂ కాదు. ఇక్కడ చాలామంది (2) ఎంచుకుంటారు.
ప్రశ్న 94
30 వరుస పూర్ణ సంఖ్యలలో, రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు యాదృచ్ఛికంగా తీయబడ్డాయి. ఆ రెండు సంఖ్యల మొత్తం బేసి సంఖ్య కావడానికి సంభావ్యత కనుక్కోండి.
Out of 30 consecutive integers, two integers are drawn at random. Probability that their sum is odd.
(1) 1/15
(2) 221/870
(3) 15/29
(4) 45/174
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 15/29
దశ 1: 30 వరుస పూర్ణ సంఖ్యల్లో 15 బేసి, 15 సరి సంఖ్యలు ఉంటాయి.
దశ 2: రెండు సంఖ్యలు ఎంచుకునే మొత్తం విధానాలు = ³⁰C₂ = 30 × 29/2 = 435.
దశ 3: మొత్తం బేసి కావాలంటే ఒకటి బేసి, ఒకటి సరి కావాలి: 15 × 15 = 225 విధానాలు.
దశ 4: సంభావ్యత = 225/435 = 15/29.
ప్రశ్న 95
A = (a sinθ + b cosθ, 0), B = (0, a cosθ − b sinθ) మరియు AB = 5 యూనిట్లు అయిన a² + b² =
If A = (a sinθ + b cosθ, 0), B = (0, a cosθ − b sinθ) and AB = 5 units, then a² + b² =
(1) 25
(2) 16
(3) 9
(4) 4
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 25
దశ 1: దూర సూత్రం: AB² = (a sinθ + b cosθ)² + (a cosθ − b sinθ)².
దశ 2: విస్తరిస్తే 2ab sinθ cosθ పదాలు రద్దు అవుతాయి. మిగిలేది a²(sin²θ + cos²θ) + b²(cos²θ + sin²θ) = a² + b².
దశ 3: AB² = 25, కాబట్టి a² + b² = 25.
ప్రశ్న 96
a < 0 మరియు b > 0 అయిన క్రింది వాటిలో సత్యము కాని ప్రవచనాన్ని గుర్తించుము.
If a < 0 and b > 0, then identify the statement which is NOT TRUE
(1) (−a, b) ∈ Q₁
(2) (a, −b) ∈ Q₃
(3) (−a, −a) ∈ Q₁
(4) (−b, b) ∈ Q₃
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) (−b, b) ∈ Q₃
దశ 1: a < 0 కాబట్టి −a > 0. b > 0 కాబట్టి −b < 0.
దశ 2: (1) (−a, b) = (+, +) → Q₁, సత్యం. (2) (a, −b) = (−, −) → Q₃, సత్యం. (3) (−a, −a) = (+, +) → Q₁, సత్యం.
దశ 3: (4) (−b, b) = (−, +) → ఇది Q₂ లో ఉంటుంది, Q₃ లో కాదు. కాబట్టి ఇదే సత్యం కాని ప్రవచనం.
ప్రశ్న 97
వరుసగా (−4, 3), (2, 9), (8, 3) మరియు (2, −3) శీర్షాలుగా గల సమచతుర్భుజ వైశాల్యం (చ.యూనిట్లలో)
Area of rhombus whose vertices are (−4, 3), (2, 9), (8, 3) and (2, −3) respectively is (in sq. units)
(1) 72
(2) 36
(3) 18
(4) 9
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 72
దశ 1: రాంబస్ వైశాల్యం = ½ × d₁ × d₂ (కర్ణాల లబ్ధంలో సగం).
దశ 2: కర్ణం d₁: (−4, 3) నుంచి (8, 3), y ఒకటే కాబట్టి పొడవు 8 − (−4) = 12. కర్ణం d₂: (2, 9) నుంచి (2, −3), x ఒకటే కాబట్టి పొడవు 9 − (−3) = 12.
దశ 3: వైశాల్యం = ½ × 12 × 12 = 72 చ.యూనిట్లు.
ప్రశ్న 98
ఒక రేఖ x, y అక్షాలను ఖండించు బిందువులను కలుపు రేఖాఖండ భాగమును, (1, 3) బిందువు 3:4 నిష్పత్తిలో విభజిస్తే ఆ రేఖ అక్షాలపై చేసే అంతర ఖండాల లబ్ధం
If the portion of a straight line intercepted between the co-ordinate axes is divided by the point (1, 3) in the ratio 3 : 4, then the product of the intercepts made by this line on the axes is
(1) 12/49
(2) 1/4
(3) 49/4
(4) 49/12
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 49/4
దశ 1: రేఖ x-అక్షాన్ని A(a, 0) దగ్గర, y-అక్షాన్ని B(0, b) దగ్గర ఖండిస్తుందనుకుందాం. (1, 3) బిందువు AB ను 3 : 4 లో విభజిస్తుంది.
దశ 2: విభజన సూత్రం: x = (3 × 0 + 4 × a)/7 = 4a/7 = 1 → a = 7/4.
దశ 3: y = (3 × b + 4 × 0)/7 = 3b/7 = 3 → b = 7.
దశ 4: అంతర ఖండాల లబ్ధం = 7/4 × 7 = 49/4.
ప్రశ్న 99
ఒక త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాలు 40 మీ. మరియు 24 మీ దాని చుట్టు కొలత 96 మీ. ఆ త్రిభుజవైశాల్యం (చ.మీ.లలో)
Two sides of triangle are 40 m and 24 m. Its perimeter is 96 m. The area of triangle is (in sq m)
(1) 384
(2) 236
(3) 196
(4) 194
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 384
దశ 1: మూడో భుజం = 96 − 40 − 24 = 32 మీ.
దశ 2: హెరాన్ సూత్రం: s = 96/2 = 48. s − a = 8, s − b = 24, s − c = 16.
దశ 3: వైశాల్యం = √(48 × 8 × 24 × 16) = √147456 = 384 చ.మీ.
గుర్తుంచుకోండి: 24, 32, 40 అంటే 3, 4, 5 కు 8 రెట్లు. ఇది లంబకోణ త్రిభుజం, ½ × 24 × 32 = 384 అని నేరుగానూ రావచ్చు.
ప్రశ్న 100
నిరూపక అక్షాలతో 5x − 2y = a (a > 0) తో ఏర్పడు త్రిభుజ వైశాల్యం 6 అయిన a =
The area of the triangle formed by co-ordinate axes and 5x − 2y = a (a > 0) is 6. The value of a =
(1) 4√21
(2) 2√30
(3) 4√30
(4) 2√21
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) 2√30
దశ 1: x-అంతర ఖండం: y = 0 పెడితే x = a/5. y-అంతర ఖండం: x = 0 పెడితే y = −a/2.
దశ 2: వైశాల్యం = ½ × |a/5| × |−a/2| = a²/20.
దశ 3: a²/20 = 6 → a² = 120 → a = √120 = 2√30 (a > 0).
ప్రశ్న 101
9x² + 16y² − 36x + 32y − 92 = 0 సమీకరణం సూచించే దీర్ఘ వృత్తకేంద్రం
Center of the ellipse 9x² + 16y² − 36x + 32y − 92 = 0
(1) (2, 1)
(2) (−2, 1)
(3) (2, −1)
(4) (−2, −1)
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) (2, −1)
దశ 1: x పదాలు, y పదాలు విడిగా కూర్చి వర్గం పూర్తి చేయాలి: 9(x² − 4x) + 16(y² + 2y) = 92.
దశ 2: 9(x − 2)² − 36 + 16(y + 1)² − 16 = 92 → 9(x − 2)² + 16(y + 1)² = 144.
దశ 3: 144 తో భాగిస్తే (x − 2)²/16 + (y + 1)²/9 = 1. కేంద్రం (2, −1).
గుర్తుంచుకోండి: ax² + by² + 2gx + 2fy + c = 0 కేంద్రం (−g/a, −f/b) = (36/18, −32/32) = (2, −1).
ప్రశ్న 102
x² + y² − 2x − 8y − 8 = 0 చే సూచించే వృత్త కేంద్రము మరియు వ్యాసార్ధాలు వరుసగా
The centre and radius of circle represented by x² + y² − 2x − 8y − 8 = 0 are
(1) (−1, −4), 3
(2) (1, 4), 3
(3) (−1, −4), 5
(4) (1, 4), 5
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) (1, 4), 5
దశ 1: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 తో పోలిస్తే 2g = −2 → g = −1, 2f = −8 → f = −4, c = −8.
దశ 2: కేంద్రం = (−g, −f) = (1, 4).
దశ 3: వ్యాసార్ధం = √(g² + f² − c) = √(1 + 16 + 8) = √25 = 5.
ప్రశ్న 103
2x + y + 6 = 0, y − 3x = 4 లు సూచించే రేఖల మధ్య కోణం
Angle between the lines 2x + y + 6 = 0 and y − 3x = 4 is
(1) 0°
(2) π/2
(3) π/3
(4) π/4
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) π/4
దశ 1: వాలులు: 2x + y + 6 = 0 → y = −2x − 6, m₁ = −2. y − 3x = 4 → y = 3x + 4, m₂ = 3.
దశ 2: tanθ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)| = |(3 + 2)/(1 − 6)| = |5/(−5)| = 1.
దశ 3: tanθ = 1 → θ = 45° = π/4.
ప్రశ్న 104
cosθ/(1 − sinθ) − tanθ =
(1) cosθ
(2) sinθ
(3) tanθ
(4) secθ
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) secθ
దశ 1: tanθ = sinθ/cosθ. ఉమ్మడి హారం తీసుకుంటే = [cos²θ − sinθ(1 − sinθ)] / [cosθ(1 − sinθ)].
దశ 2: లవం = cos²θ + sin²θ − sinθ = 1 − sinθ.
దశ 3: (1 − sinθ) / [cosθ(1 − sinθ)] = 1/cosθ = secθ.
ప్రశ్న 105
cot⁴θ − cosec⁴θ + cot²θ + cosec²θ =
(1) 1
(2) 0
(3) −1
(4) 2
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) 0
దశ 1: cot⁴θ − cosec⁴θ = (cot²θ − cosec²θ)(cot²θ + cosec²θ).
దశ 2: cosec²θ − cot²θ = 1, కాబట్టి cot²θ − cosec²θ = −1. అంటే cot⁴θ − cosec⁴θ = −(cot²θ + cosec²θ).
దశ 3: మొత్తం = −(cot²θ + cosec²θ) + (cot²θ + cosec²θ) = 0.
ప్రశ్న 106
2√3 సెం.మీ వ్యాసార్ధం కలిగిన వృత్తంలో ఒక జ్యా కేంద్రం వద్ద 60° కోణం చేస్తుంది. అయిన ఆ జ్యా పొడవు సెం.మీ.లలో
A chord of circle of radius 2√3 cm is making an angle 60° at the centre then the length of chord in centimeters.
(1) 2√3
(2) √3
(3) 3
(4) 6
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 2√3
దశ 1: కేంద్రం O, జ్యా AB అనుకుందాం. OA = OB = 2√3 (వ్యాసార్ధాలు), ∠AOB = 60°.
దశ 2: OA = OB కాబట్టి ∠OAB = ∠OBA = (180° − 60°)/2 = 60°. అంటే త్రిభుజం OAB సమబాహు త్రిభుజం.
దశ 3: కాబట్టి జ్యా AB = వ్యాసార్ధం = 2√3 సెం.మీ.
ప్రశ్న 107
ΔABC లో (tanA + tanB)/(cotA + cotB) = 1 అయిన sin((A + B)/2) =
In a ΔABC, if (tanA + tanB)/(cotA + cotB) = 1 then sin((A + B)/2) =
(1) 1/√2
(2) √3/2
(3) 1/2 మరియు √3/2 ల మధ్య ఉండును. (lies between 1/2 and √3/2)
(4) √3/2 మరియు 1/√2 ల మధ్య ఉండును. (lies between √3/2 and 1/√2)
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 1/√2
దశ 1: cotA + cotB = 1/tanA + 1/tanB = (tanA + tanB)/(tanA tanB).
దశ 2: కాబట్టి (tanA + tanB)/(cotA + cotB) = tanA tanB = 1. అంటే tanA = cotB = tan(90° − B), కాబట్టి A + B = 90°.
దశ 3: sin((A + B)/2) = sin45° = 1/√2.
ప్రశ్న 108
ABC ఒక లంబకోణ త్రిభుజం ∠C = 90° BC + CA = 23 సెం.మీ మరియు BC − CA = 7 సెం.మీ అయిన sinA + cosB
In a right angle triangle ABC, ∠C = 90°. If BC + CA = 23 cm and BC − CA = 7 cm then sinA + cosB
(1) 23/17
(2) 7/23
(3) 7/15
(4) 30/17
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) 30/17
దశ 1: రెండు సమీకరణాలు కలిపితే 2BC = 30 → BC = 15. తీసివేస్తే 2CA = 16 → CA = 8.
దశ 2: కర్ణం AB = √(15² + 8²) = √289 = 17.
దశ 3: sinA = ఎదుటి భుజం/కర్ణం = BC/AB = 15/17. cosB = ఆసన్న భుజం/కర్ణం = BC/AB = 15/17.
దశ 4: sinA + cosB = 30/17.
గుర్తుంచుకోండి: A + B = 90° కాబట్టి cosB = sinA ఎప్పుడూ. సమాధానం 2 sinA.
ప్రశ్న 109
sec55° × cos(90° − y) = 1, 0° < y < 90° అయిన కోణం y
If sec55° × cos(90° − y) = 1, 0° < y < 90° then the angle y is
(1) 85°
(2) 65°
(3) 45°
(4) 35°
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) 35°
దశ 1: cos(90° − y) = sin y. sec55° = 1/cos55°. కాబట్టి sin y / cos55° = 1 → sin y = cos55°.
దశ 2: cos55° = sin(90° − 55°) = sin35°.
దశ 3: sin y = sin35° → y = 35°.
ప్రశ్న 110
ఒక టవర్ యొక్క ఎత్తు మరియు దాని నీడల నిష్పత్తి √3 : 1 అయిన ఆ సమయంలో సూర్య కిరణాలు, భూమితో చేయుకోణం
If the ratio of the height of a tower and the length of its shadow is √3 : 1 then the angle of elevation of the sun rays with the ground at the time.
(1) π/6
(2) π/3
(3) π/4
(4) π/10
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) π/3
దశ 1: ఉన్నతి కోణం θ అయితే tanθ = ఎత్తు / నీడ పొడవు = √3/1 = √3.
దశ 2: tan60° = √3, కాబట్టి θ = 60° = π/3.
గుర్తుంచుకోండి: ఎత్తు : నీడ = 1 : √3 అయితే 30°. నిష్పత్తి తిరగబడితే కోణమూ మారుతుంది.
ప్రశ్న 111
1 + cos x + cos²x + ……… = 2, x ∈ (−π, π) మరియు x ≠ 0 అయితే x విలువ
If 1 + cos x + cos²x + ……… = 2, x ∈ (−π, π) and x ≠ 0 then x is
(1) ±π/6
(2) ±π/3
(3) ±2π/3
(4) ±3π/4
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) ±π/3
దశ 1: ఇది మొదటి పదం 1, సామాన్య నిష్పత్తి cos x ఉన్న అనంత గుణశ్రేణి. |cos x| < 1 అయితే మొత్తం = 1/(1 − cos x). (x ≠ 0 కాబట్టి cos x ≠ 1.)
దశ 2: 1/(1 − cos x) = 2 → 1 − cos x = 1/2 → cos x = 1/2.
దశ 3: (−π, π) లో cos x = 1/2 అయ్యేది x = ±π/3.
ప్రశ్న 112
r·r₂ = r₁·r₃ అయిన కోణం B
If r·r₂ = r₁·r₃ then angle B is
(1) 90°
(2) 60°
(3) 22 ½°
(4) 15°
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 90°
దశ 1: అంతర వ్యాసార్ధం r = Δ/s, బహిర్ వ్యాసార్ధాలు r₁ = Δ/(s − a), r₂ = Δ/(s − b), r₃ = Δ/(s − c).
దశ 2: r·r₂ = r₁·r₃ → Δ²/[s(s − b)] = Δ²/[(s − a)(s − c)] → s(s − b) = (s − a)(s − c).
దశ 3: cos²(B/2) = s(s − b)/(ca), sin²(B/2) = (s − a)(s − c)/(ca). రెండూ సమానం కాబట్టి tan(B/2) = 1 → B/2 = 45° → B = 90°.
ప్రశ్న 113
5 cosθ + 3 sinθ = 4 అయిన 5 sinθ − 3 cosθ విలువ
5 cosθ + 3 sinθ = 4 then the value of 5 sinθ − 3 cosθ
(1) ±4√3
(2) ±2√2
(3) ±3√2
(4) ±2√3
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) ±3√2
దశ 1: (5cosθ + 3sinθ)² + (5sinθ − 3cosθ)² విస్తరిస్తే 30 sinθ cosθ పదాలు రద్దవుతాయి. మిగిలేది 25(cos²θ + sin²θ) + 9(sin²θ + cos²θ) = 34.
దశ 2: 4² + (5sinθ − 3cosθ)² = 34 → (5sinθ − 3cosθ)² = 18.
దశ 3: 5sinθ − 3cosθ = ±√18 = ±3√2.
గుర్తుంచుకోండి: a cosθ + b sinθ = p అయితే a sinθ − b cosθ = ±√(a² + b² − p²).
ప్రశ్న 114
a = 2i − j + k మరియు b = 3i + 4j − k, అయిన a × b =
If a = 2i − j + k and b = 3i + 4j − k, then a × b =
(1) 3i − 5j + 11k
(2) −3i + 5j + 11k
(3) 3i + 5j − 11k
(4) −3i − 5j + 11k
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) −3i + 5j + 11k
దశ 1: a × b = | i j k ; 2 −1 1 ; 3 4 −1 | నిర్ధారకం.
దశ 2: i గుణకం = (−1)(−1) − (1)(4) = 1 − 4 = −3. j గుణకం = −[(2)(−1) − (1)(3)] = −(−5) = 5. k గుణకం = (2)(4) − (−1)(3) = 8 + 3 = 11.
దశ 3: a × b = −3i + 5j + 11k.
గుర్తుంచుకోండి: j పదం దగ్గర మైనస్ గుర్తు మర్చిపోతే (4) వస్తుంది.
ప్రశ్న 115
λi − 3j + 5k, 2λi − λj − k లు పరస్పరం లంబ సదిశలు అయిన λ =
If the vectors λi − 3j + 5k and 2λi − λj − k are perpendicular to each other, then λ =
(1) −3/2, 5
(2) 3/2, −5
(3) −5/2, 1
(4) 5/2, −1
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) −5/2, 1
దశ 1: రెండు సదిశలు లంబం అయితే వాటి అదిశ లబ్ధం (dot product) సున్నా.
దశ 2: (λ)(2λ) + (−3)(−λ) + (5)(−1) = 2λ² + 3λ − 5 = 0.
దశ 3: (2λ + 5)(λ − 1) = 0 → λ = −5/2 లేదా λ = 1.
ప్రశ్న 116
సదిశ a = i − 2j దిశలో 7 యూనిట్ల పరిమాణం గల ఒక సదిశ
A vector in the direction of vector a = i − 2j that has magnitude 7 units
(1) (7/√5) i + (14/√5) j
(2) (7/√5) i − (14/√5) j
(3) √5 i − 2√5 j
(4) √5 i + 2√5 j
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (2) (7/√5) i − (14/√5) j
దశ 1: |a| = √(1² + (−2)²) = √5. a దిశలో యూనిట్ సదిశ = (i − 2j)/√5.
దశ 2: 7 పరిమాణం గల సదిశ = 7 × (i − 2j)/√5 = (7/√5) i − (14/√5) j.
దశ 3: (1), (4) లో j గుర్తు మారింది, దిశ వేరు. (3) పరిమాణం √(5 + 20) = 5, 7 కాదు.
ప్రశ్న 117
y = x⁴ + tan x అయితే y′ =
If y = x⁴ + tan x then y′ =
(1) 4x³ + sec²x
(2) 3x⁴ + sec²x
(3) 4x³ + tan²x
(4) 3x⁴ − tan²x
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (1) 4x³ + sec²x
దశ 1: d/dx(xⁿ) = nxⁿ⁻¹, కాబట్టి d/dx(x⁴) = 4x³.
దశ 2: d/dx(tan x) = sec²x.
దశ 3: y′ = 4x³ + sec²x.
ప్రశ్న 118
lim (x → 3) (x³ − 3x²)/(x² − 5x + 6) =
(1) 0
(2) 3
(3) 9
(4) ∞
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 9
దశ 1: x = 3 నేరుగా పెడితే 0/0 వస్తుంది. కాబట్టి కారణాంకాలుగా విడగొట్టాలి.
దశ 2: లవం = x²(x − 3), హారం = (x − 2)(x − 3). (x − 3) రద్దు చేస్తే x²/(x − 2).
దశ 3: x = 3 పెడితే 9/1 = 9.
ప్రశ్న 119
∫ cot²x dx on I ⊂ R − {nπ : n ∈ Z}
(1) cot x − x + c
(2) −cot x + x + c
(3) cot x + x + c
(4) −cot x − x + c
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (4) −cot x − x + c
దశ 1: cot²x = cosec²x − 1.
దశ 2: ∫cosec²x dx = −cot x, ∫1 dx = x.
దశ 3: ∫cot²x dx = −cot x − x + c.
దశ 4: సరిచూడటం: d/dx(−cot x − x) = cosec²x − 1 = cot²x.
ప్రశ్న 120
lim (x → 0) (e⁷ˣ − 1)/x
(1) 1
(2) e
(3) 7
(4) ∞
సమాధానం, వివరణ
సరైన సమాధానం: (3) 7
దశ 1: ప్రామాణిక అవధి: lim (x → 0) (eˣ − 1)/x = 1.
దశ 2: (e⁷ˣ − 1)/x = 7 × (e⁷ˣ − 1)/(7x). x → 0 అయితే 7x → 0, కాబట్టి రెండో భాగం 1 కి చేరుతుంది.
దశ 3: అవధి = 7 × 1 = 7.
గుర్తుంచుకోండి: lim (x → 0) (eᵃˣ − 1)/x = a.
FAQ
ఈ సెక్షన్లో ఎన్ని ప్రశ్నలు, ఎన్ని మార్కులు వచ్చాయి?
AP DSC SA గణితం 2025 (12 జూన్, షిఫ్ట్ 1) పేపర్లో గణితం కంటెంట్ సెక్షన్లో 41 నుంచి 120 వరకు 80 ప్రశ్నలు వచ్చాయి. మొత్తం 40 మార్కులు, ఒక్కో ప్రశ్నకు అర మార్కు.
ఈ సెక్షన్లో ఏ టాపిక్స్ వచ్చాయి?
అంకగణితం, సంఖ్యా వ్యవస్థ, సంవర్గమానాలు, జ్యామితి, క్షేత్రమితి, బహుపదులు, సమీకరణాలు, సాంఖ్యక శాస్త్రం, సంభావ్యత, నిరూపక జ్యామితి, త్రికోణమితి, సదిశలు, కలన గణితం. త్రికోణమితి, నిరూపక జ్యామితి నుంచి ఎక్కువ ప్రశ్నలు వచ్చాయి.
గుణశ్రేణి ప్రశ్న (Q80)కి అధికారిక కీ ఏమిచ్చింది?
గుణశ్రేణి ప్రశ్నలో ఇంగ్లీష్ పాఠం 1 తో, తెలుగు పాఠం 1/3 తో మొదలైంది. అందుకే అధికారిక కీ (1) 9, (2) 10 రెండు ఆప్షన్లకూ పూర్తి మార్కులు ఇచ్చింది.
Sources
Writes and reviews the AP DSC Papers posts: previous DSC question papers solved step by step in Telugu, checked against the official keys.